Adaları pontonlarla NP-tam bağlamak mı?

Aklımda bir sorun var, sanırım bu bir NPC problemi ama bunu nasıl kanıtlayacağımı bilmiyorum.

İşte sorun:

Orada k çok büyük bir gölde adalar ve orada n yelpaze şeklinde dubaları. Bu dubalar aynı boyuttadır ancak farklı başlangıç ​​yönlerine sahiptir ve gölde farklı orijinal konumlardadır. Dubalar kütle merkezinin etrafında serbestçe dönebilir ve rotasyonla ilişkili bir maliyet yoktur.

Şimdi bu dubaları, göldeki tüm adaların bağlanabilmesi için hareket ettirmemiz gerekiyor. Tüm adaları birleştirmek için duba sayısının yeterli olduğunu garanti edebiliriz.

[Not]: Dubaları tekrar kullanamayız !!

Görev, tüm adaları birbirine bağlamak için hareketli pontonların minimum toplam mesafesine sahip çözümü bulmaktır. Bir duba hareket ettirme mesafesi, kütlenin orijinal konumu ile yerleştirilmiş konumu arasındaki mesafe olarak hesaplanabilir.

Açıkça söylemek gerekirse, böyle bir figür çizdim. Diyelim ki 3 A, B ve C adamız var. Gölün bir yerinde bulunuyorlar. Birkaç yelpaze şeklinde pantolon var. Şimdi çözüm, şeklin alt kısmında gösterilen A, B ve C'yi bağlamak için minimum hareket mesafesi toplamı bulmaktır. Umarım sorunu anlamaya yardımcı olur. :)

Sorun bir NPC sorunu gibi görünüyor, ama bunu kanıtlamayı bilmiyorum. bana bu konuda birileri yardımcı olabilir mi?

Birincisi: Bu Gezgin Satıcı Sorunu değildir. TSP, minimum ağırlıktaki bir Hamiltonian döngüsünün tanımlanmasını gerektirir; bu döngü bir döngü, hatta hiç asgari bir ağırlık yolu gerektirmez. İnşaat maliyetinin pontonları hareket ettirmeye dayalı olduğu, bir dizi kenar kümesinin minimum maliyetli bir yapımını gerektirir .

İkincisi: Bu Minimum Ağırlık Yayılan Ağaç Sorunu değildir. Yukarıya bakın - minimum ağırlık tanımlaması değil , minimum maliyetli bir yapıya ihtiyacımız var .

Üçüncüsü: Görünen yol, genişleyen bir ağaç olacak, ancak mutlaka asgari bir ağırlık olmayacak. Alternatif, yayılan bir ağaç artı bir döngü ile sonuçlanan bazı ek kenarlar olmasıdır; ancak kenarları olmayan bir konfigürasyonla başlarsak, her kenarın bir miktar pozitif maliyeti vardır ve sadece ekstra kenarları inşa etmeyerek her zaman daha düşük ağırlıklı bir ağaç bulabiliriz.

Dördüncü: Dubaların serbestçe döndüğünü söylüyorsun; Bunun, pontonları döndürmekle ilgili hiçbir maliyetin olmadığı anlamına gelir. Ancak, dubaların ne hakkında döndüğünü belirtmezsiniz: Puanları? Kütle merkezleri? Herhangi bir iç nokta var mı? (Herhangi bir harici nokta varsa, sıfır ağırlık yapılarımız olurdu, değil mi?)

Bu biraz ince, çünkü eğer bir iç nokta hakkında 90 derece dönersek, örneğin kütle merkezi, maliyeti nedir? Hiçbir şey, çünkü bu bir rotasyon? Nokta hareket ettiği için sınırlı miktarda mı? Şimdi de dubaların büyüklüğünü bilmemiz gerekiyor.

Beşinci: Birisi hem pontonların hem de adaların Öklid Düzlemine gömülü olduğunu varsayar.

Yeni diyagramlara baktıktan sonra, adalar arasında geçiş yapmak için birden fazla dubaya ihtiyacınız olabileceğini görüyorum. Bununla birlikte, düğümleri adalara dönüştürerek ve küçük yaylı yeterince farklı bir duba koleksiyonu oluşturarak Steiner Ağacı sorununun bir çözümüne çok yaklaşabilirsiniz . Wikipedia aslında Steiner ağacı problemi için bir PTAS olduğunu söylüyor, bu yüzden bunu NP-tamamladığını söyleyemem. Ancak Steiner ağacının ayrıntılarına bakmak size iyi bir yaklaşık çözüm sunabilir veya sorunun NP-Complete olduğunu gösterebilir.

Çizimden sonra, Bu hala bir NPC problemidir. Sorunu her bir dubaya indirsek bile, 1 n konumu (yani bilinen bağlantı çizgileri) alabilir. Her duba her pozisyonda test edilmesi gerekiyorsa, test edilmesi gereken n! kombinasyonları vardır.

Bu sorunun arkasındaki grafik fikirlerini göstermek için orijinal posterin resimlerini bazı eklemelerle düzenlemeyi seçtim.

Aşağıdaki görüntü, tüm olası duba bitiş yerleri KIRMIZI renkte olan tüm renkleri (daha basit hale getirmek için eksi 2) gösterir. Sadece 3 ponton ve tüm son konumlar arasındaki çizgileri çizdim, ancak bunun nasıl ÇILGIN alabileceğini görebiliyordum.

Sadece bunun için, turkuaz duba için en yakın son noktaya ilk adım olarak yerleştirilmesini tercih ettiğimizi söyleyin (TSP'den itibaren bunun sonunda optimal olmayabileceğini biliyoruz).

Aşağıda tam olarak görüyoruz, duba ve mesafe (aka ağırlıklı seyahat mesafesi) seyahat etmek zorunda kalacak.

Buradan, hemen yerleştirilmiş konumun yanında iki uç konuma sahip sanal bir düğüm yapılabilir. Ayarlanan düğümden ve sanal düğüm içindeki iki bitişik düğümün uzaklığı, 0 sanal hareket mesafesine sahiptir.

Aşağıda, buraya yerleştirilebilecek TÜM potansiyel seyahat mesafesi ağırlıklarıyla oluşturulan sanal düğümü görüyoruz.

Bunun nasıl devam edeceğini ve en uygun çözümün (TSP ile birçok kez görüldüğü gibi) her seçim için en kısa mesafeyi seçerek her zaman olmayacağını görünce, esas olarak tüm düğümler / sanal düğümler için tüm yolları test etmemiz gerekir.

Sonunda (TSP) sorununun ilk düğümü, potansiyel uç duba noktalarından herhangi biri olabilir ve bundan çizilen çizgiler, bu uç noktadan diğer tüm dubalara olan mesafelerdir. diğer tüm düğümler daha sonra sanal düğümler haline gelir, çünkü çizgileri kalan tüm dubalara mesafeler / ağırlıklar olarak ortaya çıkar ve bu böyle devam eder. Hamilton döngüsünün LAST JUMP şartı olmadan bu grafik probleminin TAMAMEN DEĞİLDİR. Kesin cevabı alabilmek için grafikteki tüm yolları test etmek gerekir.