O ve worst en kötü ve en iyi durumla nasıl ilişkilidir?

33

Bugün, derste ikili arama kullanarak sıralanmış bir dizide bir eleman bulmak için çok basit bir algoritma tartıştık . Bir $n$ element dizisi için asimptotik karmaşıklığını belirlememiz istendi .

Benim fikrim, daha açık bir şekilde $O(\log n)$ , veya olmasıydı, $O(\log_2 n)$ çünkü $\log_2 n$ , en kötü durumda işlem sayısıdır. Fakat daha iyisini yapabilirim, örneğin ilk kez aranan elemana vurursam - o zaman alt sınır $\Omega(1)$ .

Öğretim görevlisi çözümü olarak sundu $\Theta(\log n)$ çünkü algoritmalar için genellikle sadece en kötü durum girişlerini göz önünde bulundururuz.

Neyin sahip noktası sadece kötü durumlarda, dikkate Ama $O$ ve $\Omega$ verilen problemin tüm kötü vakalar aynı karmaşıklık var -notation ( $\Theta$ Tamam, biz ihtiyacı olurdu?).

Burada ne özlüyorum?

— Smajl
kaynak

@Smaji: Ne demek istiyorsun? "Ama sadece en kötü vakaları göz önüne alırken, en kötü vakaların + - aynı karmaşıklığa sahip olması durumunda büyük O ve büyük Omega notasyonuna sahip olmanın anlamı ne? lütfen açıkla.

— tanmoy

@Smajl: Bence sorunuz şu: Algoritma analizinde Big O ve Big Omega notasyonu gerekliliği nedir? doğrumuyum?

— tanmoy

5

O (\log_{2} n)

$O(\log_2 n)$ ,

den daha spesifik değildir

O (\log n)

$O(\log n)$ , aynı fonksiyon sınıfını belirtir.

— Raphael

l o g_{2} (n)

$log_2(n)$ ile aynı

l o g (b) / l o g (2) \times l o g_{b} (n)

$log(b)/log(2) × log_b(n)$ bu nedenle 2 sadece büyük diğer faktörler gibi çeşitli faktörlere kaldırma olabilir bir faktör (gösterir -O.

— ctrl-alt-delor

39

Landau notasyonu, fonksiyonlarda asimptotik sınırları belirtir . , ve arasındaki farkların açıklaması için buraya bakınız . $O$ $\Omega$ $\Theta$

Kötü-iyi-ortalama ya da isim-it-vaka zamanı ayrı çalışma zamanı işlevlerini açıklar: Verilen herhangi birinin en yüksek çalışma zamanı dizisi için bir tane , en düşük oranlardan bunun için birinin, vb .. $n$

Kendi başlarına, ikisinin birbirleriyle hiçbir ilgisi yok. Tanımlar bağımsızdır. Şimdi çalışma zamanı fonksiyonlarında asimptotik sınırlar oluşturabiliriz: üst ( ), alt ( ) veya her ikisi ( ). En kötüsüyle, en iyisiyle veya başka bir davayla yapabiliriz. $O$ $\Omega$ $\Theta$

Örneğin, ikili aramada in en iyi durumda çalışma zamanı asimptotik ve nin en kötü durumda olan asimptotik değerini . $\Theta(1)$ $\Theta(\log n)$

— Raphael
kaynak

Benim için en önemli şey, asimptotik sınırlanmış fonksiyonların herhangi biri üzerinde en kötü, en iyi durum analizini yapabilmemiz. Bana göre, bu Big O'nun bağımsızlığına karşı en kötü vaka analizini gösteriyor. Teşekkürler!

— Patrick

1

@Patrick Pek değil. Her şeyden önce, en kötü, ortalama veya en iyi durumu analiz etmek isteyip istemediğinize karar verirsiniz. Sonra maliyet fonksiyonu ile (ya da olabildiğince iyi bir yaklaşım) ile gelip . Ancak o zaman asimptotik kullanıyorsunuz.

— Raphael

17

Aşağıdaki algoritmayı (veya prosedürü veya bir kod parçasını veya neyse) düşünün:

Contrive(n)
1. if n = 0 then do something Theta(n^3)
2. else if n is even then
3.    flip a coin
4.    if heads, do something Theta(n)
5.    else if tails, do something Theta(n^2)
6. else if n is odd then
7.    flip a coin
8.    if heads, do something Theta(n^4)
9.    else if tails, do something Theta(n^5)

Bu fonksiyonun asimptotik davranışı nedir?

En iyi durumda ( eşit olduğu yerde ), çalışma zamanı ve , ancak hiçbir şeyin değildir . $n$ $\Omega(n)$ $O(n^2)$ $\Theta$

En kötü durumda ( garip olduğu) çalışma zamanı ve , ancak hiçbir şeyin değildir . $n$ $\Omega(n^4)$ $O(n^5)$ $\Theta$

durumunda , çalışma zamanı . $n = 0$ $\Theta(n^3)$

Bu biraz tartışmalı bir örnektir, ancak yalnızca sınır ile dava arasındaki farkları açıkça göstermek amacıyla. Yapmakta olduğunuz aktiviteleri bilinen yoksa sen, ayrım tamamen deterministik prosedürlere anlamlı hale olabilir sınırları. $\Theta$

— Patrick87
kaynak

1

Bu deterministik yapmak için

durumlarda bölün .

n mod 4

$n \bmod 4$

— vonbrand

4

$[\log n + 1]$ $T(n)$ $T(n) = \Theta(\log n)$

Öte yandan, diğer algoritmalar için egzersiz yapamayabilirsiniz $T(n)$

$[\log n + 1]$ $S\subset [n]$ $|S|$ $2$

— Louis
kaynak

1

$O$ $\Theta$ $% T(n)=n^{2}+n+2$ $T(n)=O(n^{2})$ $T(n)=\Theta (n^{2})$ . Bu kayıtsız davranışı iki nedenden dolayı niteliyorum. İlk olarak, birçok kişi görür. $O$ $\Theta$ $% \Omega$ $O$ $\Theta$

$O$ $\Theta$ $\Theta$ $\Theta (1)$ $% \Theta (\log n)$ $O$ $O(\log n)$ $\Theta$ $O$

— Hamed Nassar
kaynak

O (\log n)

$O(\log n)$

Θ (\log n)

$Θ(\log n)$

@Raphael Sizi iki gösterimin tanımlarına yönlendiririm. Dahası, çeşitli zamanlardaki cevap ve yorumlarınızın yaydığı zamanlar değil, çalışma zamanının asimptotik "büyüme hızını" sınıflandırmak için kullanıldığını fark edin.

— Hamed Nassar