Kaba kuvvet Delaunay nirengi algoritması karmaşıklığı

Mark de Berg ve arkadaşlarının "Hesaplamalı Geometri: Algoritmalar ve Uygulamaları" kitabında Delaunay üçgenlemlerini hesaplamak için çok basit bir kaba kuvvet algoritması var. Algoritma, geçerli bir Delaunay üçgenlemesinde görünmeyebilecek ve başka bazı kenarlarla değiştirilmesi gereken yasadışı kenarlar kavramını kullanır . Her adımda, algoritma yalnızca bu yasadışı kenarları bulur ve yasadışı kenarlar kalmayana kadar gerekli yer değiştirmeleri ( kenar döndürme olarak adlandırılır ) gerçekleştirir .

Algoritma Yasal Üçgenleştirme ( $T$ )

Giriş . Bazı nirengi $T$ noktası seti $P$ .
Çıktı . yasal bir üçgenlemesi $P$ .

ise yasadışı kenar içerir do $T$ $p_ip_j$

$\quad$ Let ve bitişik iki üçgen olması . $p_i p_j p_k$ $p_i p_j p_l$ $p_ip_j$
$\quad$ Kaldır den ve eklemek yerine. geri . $p_ip_j$ $T$ $p_kp_l$
$T$

Bu algoritmanın en kötü durumda zamanda çalıştığını duydum ; ancak bu ifadenin doğru olup olmadığı bana açık değil. Evetse, bu üst sınırı nasıl ispatlayabiliriz? $O(n^2)$

— Mikhail Dubov
kaynak

Yukarıda belirttiğiniz biçimde

zamanı alır. Bununla birlikte, bu yapılabilir bir istifini kullanarak

süresi. Bu ders notlarındaki son sayfaya bakabilirsiniz . Temel argüman, en fazla

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

kenar döndürür.

(\binom{n}{2})

$\binom{n}{2}$

— rizwanhudda

@rizwanhudda: Bunu neden cevap vermiyorsun?

— Raphael

Bir Delaunay üçgenlemesi, paraboloide kaldırılan 2d noktasının alt dışbükey gövdesi olarak düşünülebilir. Böylece, 2d nokta setinizi alır ve her noktaya bir koordinatı atarsanız , alt dışbükey gövdenin düzlemine izdüşümü Delaunay üçgenlemesini veriyor. $(x_i,y_i)$ $z$ $z_i=x_i^2+y_1^2$ $xy$

Bu bakış açısını kullanarak, bir kenarın yasadışı olması ne anlama gelir ? Her şeyden önce, her nirengi için biz 3d (üçgen) yüzeyini almak için parabolik haritayı kullanabileceği projeler için aşağı . Tabii ki, bu yüzey mutlaka dışbükey değildir, dışbükey olsaydı, Delaunay üçgenleme olurdu. Basitçe söylemek gerekirse, kenar yüzeyin dışbükeyliği, içbükey bir kenar için bir engeldir . Bu kenarı çevirirken kaldırılan yüzeydeki durumu sadece yerel olarak değiştiriyoruz. 4 noktaya bakalım $(p_i,p_j)$ $T$ $T$ $T$ $(p_i,p_j)$ . 3D'de dörtgenlere doğru uzanan bir tetrahedron oluştururlar. İki üçgen ve içbükey kenarı tanımladığından, ve üçgenleridışbükey bir kenarı tanımlar $p_i,p_j,p_k,p_l$ $p_ip_jp_k$ $p_ip_jp_l$ $(p_i,p_j)$ $p_kp_lp_i$ $p_kp_lp_j$ . Bu nedenle, yasadışı bir kenarın çevrilmesi, içbükey bir kenarın, kaldırmadaki dışbükey bir kenarla değiştirilmesine karşılık gelir. Bu döndürmelerin diğer dışbükey kenarları içbükey kenarlara çevirebileceğine dikkat edin. $(p_l,p_k)$

3D Flip interpretation Not: Görüntü geometrik olarak doğru değildir ve sadece taslak olarak kabul edilmelidir.

Kapaktan sonra üçgenleme olsun . Kalkık yüzeyi yüzeyini "içerir" . Bununla, aralarından iki yüzeye izlemek durumunda anlamına görmek düzlem sadece yüzeyinden üçgenler (her iki yüzeye de veya üçgenler). Ayrıca yüzey söyleyebiliriz daha fazla hacim kaplamaktadır. Ayrıca, kenar kaldırılmış yüzeyi tarafından uyarılan "arkasında" hemen yatmaktadır den izlerken düzleminde. $T'$ $T'$ $T$ $xy$ $T'$ $T'$ $(p_i,p_j)$ $T'$ $xy$

Döndürme dizisi sırasında, hacmi oldukça artan bir dizi yüzey elde ederiz. Böylece, kenar tüm bu yüzeylerin "arkasında" yatar. Dolayısıyla, çevirme işlemi sırasında asla tekrar ortaya çıkamaz. Sadece 2 olası kenar seçtiği için en fazla döndürür. $(p_i,p_j)$ $n$ $O(n^2)$

— A.Schulz
kaynak