A'daki bir nokta ile B'deki bir nokta arasındaki en kısa mesafe

Her biri düzlemde ayrık nokta içeren iki ve kümesi verildiğinde , bir nokta ile bir nokta arasındaki en kısa mesafeyi hesaplayın , yani .$A$$B$$n$$A$$B$$\min \space \{\mbox{ } \text{dist}(p, q) \mbox{ } | \mbox{ } p \in A \land q \in B \space \}$

Haklı olup olmadığımdan emin değilim, ancak bu problem hesaplama geometrisinde doğrusal programlama ile çözülebilecek sorunlara çok benziyor. Bununla birlikte, LP'ye indirgeme kolay değildir. Benim sorunum 2 nokta uzayda O (n) LP tarafından açıkça çözülebilir iki nokta kümesi arasındaki en ince stip bulmak ile ilgili görünüyor $O(n)$.

Biraz kıvrık görünebilir, ancak naif kaba kuvvet arama daha verimli olmalıdır bir çözüm var :$\mathcal O(n^2)$

1. , ve kütle merkezleri arasındaki eksen olsun .$v$$A$$B$
2. Sıralama noktaları ve azalan ve sıralara yol açan, sırasıyla, artan düzende bu eksen boyunca , , ..., ve , , ..., .$A$$B$$a_0$$a_1$$a_n$$b_0$$b_1$$b_n$

Gerisi daha açık hale getirmek için sözde koddadır:

d = infinity.
for j from 1 to n
    if (b_1 - a_j) along v > d then break endif
    for k from 1 to n
        if (b_k - a_j) along v > d then
            break
        else
            d = min( d , ||b_k - a_j|| )
        endif
    enddo
enddo

Yani tarafından, ilerlediğini noktaları öncesi-sıralama , sen içinde asla çiftleri filtreleyebilirsiniz beri birbirinden boyunca hep olacak.$v$$d$$b_k-a_j$$v$$\le \|b_k-a_j\|$

Kötü durumda bu hala eğer, ancak ve de ayrılır, çok daha hızlı daha değil daha iyi olmalıdır , gerekli olan sıralama için.$\mathcal O(n^2)$$A$$B$$\mathcal O(n\log n)$

Güncelleme

Bu çözüm hiçbir şekilde şapkadan çıkarılmaz. Uzamsal binning ile etkileşen tüm parçacık çiftlerini bulmak için parçacık simülasyonlarında kullandığım özel bir durum. Daha genel sorunu açıklayan kendi çalışmam burada .

Değiştirilmiş bir hat süpürme algoritması kullanma önerisine gelince, sezgisel olarak basit olsa da, ayrık kümeler dikkate alındığında bunun olduğuna ikna olmadım . Aynı şey Rabin'in rastgele algoritması için de geçerli.$\mathcal O(n\log n)$

Orada ayrık setlerde yakın çifti sorunla ilgilenen çok literatür olmak görünmüyor, ama buldum bu altında olmanın iddiası yok ki, ve bu , görünmüyor hangi herhangi bir şey hakkında iddiada bulunmak.$\mathcal O(n^2)$

Yukarıdaki algoritma, ilk makalede (Shan, Zhang ve Salzberg) önerilen düzlem taramasının bir varyantı olarak görülebilir, ancak ekseni kullanmak ve sıralama yapmak yerine, kümeler arasındaki eksen kullanılır ve kümeler çaprazlanır azalan / artan sırada.$x$

Sen "En yakın çifti" uyarlayabilirsiniz linesweep algoritması olan .$O(n \log n)$

Yapmanız gereken tek değişiklik, aynı sete ait olan çiftleri göz ardı etmektir.

Düzenleme: Bu aslında tarif ettiğim gibi basit (hatta mümkün) değildir. Tartışma için yorumlara bakın.

Bunun gibi problemler fikri, En Yakın Komşunun verimli sorgulamalarını sağlayan setlerden birinden düzenli bir yapı oluşturmaktır. Rasgele boyut için bir O (log n) sorgu yapısı sunan klasik makale:

Voronoi çözümlerinde Shamos ve Hoey

O zamandan beri Delauney tesselasyonlarından gelen fikirlere dayanan bir dizi başka uzay bölümü yaratıldı ve bunlar da çeşitli alt uzay süpürme açıklamalarına dönüştü. Voronoi yönteminin, inşaat adımını O (n log n) yapan düzlem bölümlemesi nedeniyle genel bir bölme ve fethetme açıklaması altına gireceğini unutmayın.

Yani, bu sorunun temel çözümü:

1. A kümesini alın ve seçtiğiniz verimli En Yakın Komşu sorgu yapısını oluşturun. Bu yapım adımı O (n log n) 'dir [bakınız teorem 4].
2. B'deki her eleman için, en yakın komşu için A yapısını sorgulayın. Her sorgu O (log n) 'dir [bkz. Teorem 15, sabit boyut], bu nedenle B'deki tüm noktalar için toplam sorgu süresi O (n log n)' dir.
3. Her B'ye en yakın A noktasının sonucu alındığında, mesafeye göre sıralanmış bir yapıya koyun. Bu, her sonucu O (log n) veya herkes için O (n log n) ekler.
4. Tüm B'ye bakıldığında, sipariş edilen yapıdaki B noktasını A'daki bir noktaya en küçük komşu mesafeyle hızlı bir şekilde (O (1)) alabilirsiniz.

Her adımın karmaşıklığına bakıldığında görüldüğü gibi, toplam karmaşıklık O (n log n) 'dir. Klasik okuyuculara bakmayan modern okuyucu için bu, birçok algoritma kitabında, örneğin Skiena'nın “Algoritma Tasarım Kılavuzu” nda ele alınmıştır.

Haklı olup olmadığımdan emin değilim, ancak bu problem hesaplama geometrisinde doğrusal programlama ile çözülebilecek sorunlara çok benziyor. Bununla birlikte, LP'ye indirgeme kolay değildir. Ayrıca benim sorunum LP tarafından 2 boyutlu uzayda çözülebilen iki nokta kümesi arasındaki en ince stip'i bulmakla ilgili görünüyor.

Bu problemin alt sınırı cebirsel karar ağacı modeli altında . Burada ispatının kabaca bir taslağını vereceğim.$O(n*\log{n})$

Eleman belirsizlik sorunu E'nin örneğini C'ye indireceğiz.

• E'ye giriş: $S = \{a_1, a_2, a_3,...,a_n\}$
• Let > 0 aa küçük kesirli$\epsilon$
• A = ,$\{(a_i,0) : 1 \leq i \leq n\}$$B = \{(a_i + \epsilon) : 1 \leq i \leq n\}$
• Şimdi A ve B kümeleri arasındaki en kısa mesafeyi (d) bulabilirsek, ek süresinde eleman farklılığı problemine aşağıdaki şekilde karar verebiliriz.$O(n)$
  • setinin sadece ve sadece d =$S$$\epsilon$

Öğe ayırt etme problemine karar vermek için çalışma zamanında alt sınırın olduğunu biliyoruz . Bu nedenle, alt sınır azaltılarak sorunumuz için de geçerlidir.$O(n*\log{n})$