Hilbert'in 10. Problemi ve Chaitin'in Diophantine Denklemi “Bilgisayar”?

Chaitin'in Meta Math'ında! Omega Arayışı , Hilbert'in 10. Probleminden kısaca bahsediyor. Daha sonra herhangi bir Diophantine Equation pozitif tamsayı katsayıları olan iki eşit polinom olarak değiştirilebileceğini söylüyor : .p = $p=0$$p=0 \iff p_1 = p_2$

Sonra bu denklemleri "bilgisayar" gibi düşünebileceğimizi söylüyor:

Diophantine Denklem Bilgisayarı : Program: , Çıktı: , Süre:

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

Sol taraf , sağ taraf . , çıktısını veren bu bilgisayarın programı olduğunu söylüyor . Ayrıca bilinmeyenlerin çok boyutlu bir zaman değişkeni olduğunu söylüyor .R k $L$$R$$k$$n$

Beni şaşırtan şey, o zaman Hilbert'in 10. Sorununun bu şekilde bakıldığında açıkça çözülemeyeceğini söylemesidir. Temel olarak "Turing'in Durma Sorunu yüzünden" diyor. Ama bağlantıyı görmüyorum (teoriyi öğrenmeye başlıyorum). Birisinin Chaitin'in burada ne anlama geldiğini daha açık bir şekilde açıklayabileceğini umuyordum.

Turing'in Durma Probleminin temel olarak bir programın durmadan önce ne zaman duracağını tahmin edemeyeceğinizi belirtiyorum (sınırlı bir süre verildiğinde). Chaitin tarafından ortaya konulan notasyonu kullanarak Hilbert'in 10. Problemine uygulama nedir?

İyi soru. Hilbert'in 10. Problemi hakkında biraz daha bilgi sahibi olabileceğiniz anlaşılıyor. Umarım bu aşırıya kaçmaz.

Sorun soruyor:

Diophantine polinomu verildiğinde, değişkenlerinin eşit olmasını sağlayan bir ayar olup olmadığına karar veren bir algoritma var mı ?$0$

Bu, 70'lerde MRDP'nin (Matiyasevich'in arama yapmak istiyorsanız, teoremi olarak da adlandırılır) bir sonucu olarak çözüldü:

Tanımlama: bir dizi olan Diofant bir Diofant polinom varsa ile girişler bu şekilde . p k + 1 D = { $D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

Diophantine setleri, Turing makineleri tarafından tanınabilen setlerdir.

Bu teorem bir yönde açıktır (her Diophantine seti bir Turing Machine tarafından tanınabilir - girişinde , makinenizin vektörleri tahmin etmeye başlamasını , değerlendirmesini sağlayın ve bulursanız / durdurursanız durdurun . Diğer yönde çok açık değil - neden her Turing tanınabilir setin Diophantine olduğu doğrudur? Kodlama şemaları iğrenç, ama güven bana, yapılabilir.$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

Her neyse, MRDP teoremi Hilbert'in 10. problemini nasıl çözüyor? İyi...

Çelişki için, bir Diophantine polinom verildiğinde, neden olan bir giriş vektörü olup olmadığına karar veren bir algoritmaya sahip olduğumuzu varsayalım .$p(y)$$y$$p(y) = 0$

Şimdi bu sihirli algoritmayı durma problemini çözmek için kullanacağım. Bir makine verildiğinde, sorunu dönüştürmek için Diophantine denklemlerinin iğrenç kodlamasını kullanacağım.$M$ giriş durur ?""Diophantine polinom nin eşit olmasını sağlayan bir dizi girdi var mı?" Sonra bu problemi çözmek için sihirli algoritmamı kullanacağım ve şimdi durma problemini çözdüm.$x$$p(y | x)$$0$

Tabii ki bu imkansız, bu yüzden gerçekte neden olan bir giriş vektörü arayan büyülü bir algoritma olamaz . Benzer şekilde, iki Diophantine polinomuna bakan ve hiç eşit olup olmadığına karar veren bir algoritma olamaz. Chaitin böyle söylüyor.$p(y) = 0$