Bir bikriteri yaklaşım algoritması nedir?

Bir bikriteri yaklaşım algoritması nedir? Bu, veri akışı kümelemesi durumunda ortaya çıkmaya devam eder. Bu çok amaçlı optimizasyonla mı ilgili?

Buraya rastladığım yer: cis.upenn.edu/~sudipto/mypapers/datastream.pdf. Makale k-ortalama algoritmasının akışlı bir versiyonu ile ilgilidir. Makalede referanslar vardır, ancak bunların hiçbiri bir bikriteri yaklaşım algoritmasının ne olduğu hakkında bir açıklama yapmamaktadır. Google'da da bana kesin bir tanım verecek hiçbir şey bulamıyorum.

Yuval Filmus'un cevabını , çok amaçlı optimizasyon problemlerine dayanan bir yorum sunarak genişleteceğim .

Tek amaçlı optimizasyon ve yaklaşım

Bilgisayar bilimlerinde optimizasyon problemlerini genellikle tek bir hedefle inceliyoruz (örneğin, bazı kısıtlamalara maruz kalan f ( x ) değerini en aza indirin ). Diyelim ki NP tamlığı, ilgili bütçe sorununu göz önünde bulundurmak yaygındır . Örneğin, maksimum klik problem, amaç kliğin önem düzeyi en üst düzeye çıkarmak ve bütçe sorunu en azından boyutta bir klik var olup olmadığına karar problemidir k , k için girişin parçası olarak verilir sorun.

Optimal bir çözeltiyi verimli bir şekilde hesaplamak mümkün olmadığında, maksimum klips probleminde olduğu gibi, optimal bir çözümün çarpımsal bir faktörü içindeki bir çözümü çıktılayan bir fonksiyon olan yaklaşık bir algoritma ararız . Ayrıca , bir maksimizasyon problemi durumunda f ( x ) ≥ ck'yi karşılayan bir çözüm çıkaran bir fonksiyon olan bütçe problemi için bir yaklaştırma algoritması da düşünebilirsiniz , burada c birden fazla sayıdır. Bu durumda, çözüm f ( x ) ≥ k sert sınırını ihlal edebilir , ancak ihlalin "şiddeti" c ile sınırlıdır .

Çok amaçlı optimizasyon ve iki kriterli yaklaşım

Bazı durumlarda, iki hedefi aynı anda optimize etmek isteyebilirsiniz. Kabaca bir örnek olarak, "maliyetimi" en aza indirirken "gelirimi" en üst düzeye çıkarmak isteyebilirim. Böyle bir durumda, iki hedef arasında bir denge olduğu için tek bir optimal değer yoktur; daha fazla bilgi için Pareto verimliliği hakkındaki Wikipedia makalesine bakın .

İki-objektif bir optimizasyon problemini tek-objektif bir optimizasyon problemine dönüştürmenin bir yolu (bunun için objektif fonksiyonun optimal değeri hakkında akıl yürütebileceğimiz), her bir amaç için bir tane olmak üzere iki kısıt problemini dikkate almaktır. Sorun, g ( x ) değerini en aza indirirken aynı anda f ( x ) değerini en üst düzeye çıkarmaksa , ilk kısıtlama sorunu, f ( x ) ≥ k kısıtlamasına tabi olan g ( x ) değerini en aza indirmektir ; burada k , girişin bir parçası olarak verilir. bu tek amaçlı optimizasyon problemi. İkinci kısıtlama problemi de benzer şekilde tanımlanır.

İlk kısıtlama problemi için bir ( α , β ) - bikriteri yaklaşık algoritması girdi olarak bir bütçe parametresini k alan ve bir çözüm x çıkaran bir işlevdir .

• $f(x) \geq \alpha k$
• $g(x) \leq \beta g(x^*)$

$x^*$

• $f(x) \geq \alpha f(x^*)$
• $g(x) \leq \beta \ell$

Başka bir deyişle, bikriteri yaklaşım algoritması aynı zamanda birinci hedefte bütçe problemi ve ikinci hedefte optimizasyon problemi için bir eşzamanlamadır. (Bu tanım, Iyer ve Bilmes, 2013 tarafından "Submodüler Kapak ve Submodüler Sırt Çantası Kısıtlamaları ile Submodüler Optimizasyon " un dördüncü sayfasından uyarlanmıştır .)

Eşitsizlikler, hedefler maksimumdan minimuma veya tam tersi olduğunda yön değiştirir.

$k$$\rho$$k$$V_1,\ldots,V_k$$\rho$$E(V_1,\ldots,V_k)$$\rho$

$f(n),g(n) \geq 1$$f(n),g(n)$$V_1,\ldots,V_k$$f(n)\rho$$g(n)\mathrm{OPT}$$\mathrm{OPT}$$\rho$

Başka bir deyişle, bir bikriteri yaklaşıklama algoritması belirli bir yaklaşıklama oranını elde ederken bir miktar kısıtlamayı belirli bir miktarda ihlal eder. Az önce açıklanan problem için bir bikriteri yaklaşım algoritması örneği için Makarychev kardeşler tarafından hazırlanan bu makaleye bakınız .