Bir tetrahedronun bir Polihedron içinde olup olmadığını test etme

Bir tetrahedron ve bir polihedron p var . t , tüm köşelerini her zaman p ile paylaşacak şekilde kısıtlanmıştır . I olup olmadığını belirlemek için isteyen t yalan içinde p .$t$ $p$$t$$p$$t$ $p$

Çözüme katkıda bulunması durumunda soruna bir ayrıntı eklemek istiyorum: bir Delaunay tetrahedron ve p'nin yüzleri üçgen ve p'nin köşeleri açısından kuvvetli Delaunay . Bir dörtyüzlü olan Delaunay eğer circumsphere kendi noktaların içindeki başka hiçbir köşe içerir. Yüzünde o yüzün köşelerini içeren ancak üzerinde veya içinde başka tepe noktası bulunmayan bir durum varsa , bir yüz kesinlikle Delaunay'dır .$t$$p$$p$

Aşağıdaki şekiller içinde aynı sorunu göstermek alanı: $2D$

Orijinal çokgen $p$ :

Delaunay köşelerinin üçgenlenmesi$p$ :

Ve sonuç iç / dış üçgenler üzerinde testi $t$ (Gölgeli üçgenler içinde ve geri kalan dış ):$p$

İstenen sonuç ( üçgenlerin dışında budama ) :

Benim asıl sorunum 3B uzayda bu yüzden yukarıdaki şekillerde üçgenler tetrahedronlara ve poligon p rasgele bir polihedron p'ye çeviriyor . Bu sorunun bazı formülasyonlarını anladım:$t$$p$$p$

Formülasyon 1 t'nin p dışında olabilen
tek parçaları kenarları ve üçgen yüzleridir, ancak genel olarak yüzeyinde t dışında tüm kenarları olan bir p olabilir, bu nedenle alternatif olarak bu problem, tetrahedron t için p dışında bir yüz olup olmadığını test edin ?$t$$p$$p$ $t$$t$ $p$

Formülasyon 2
: Başka bir olası bu soruna yönelik bir bakış açısı ama herhangi bir resmi fikrin eksik olması
durumunda, geometrik olarak sonra herzaman olacaktır dışında yapışmasını üzerinde dış yüzeyinde p . Biz hesaplamak girerse hatlarını (gayri dış sınırı) Cı V ve Cı- V s şekilde V = V t ∪ V p ve V t , V s bir köşe kümeleridir t , s , sonra sırasıyla, $t$$p$$C_{V}$$C_{V_{p}}$$V=V_{t}\cup V_{p}$$V_t,V_p$$t,p$ ifftpiçinde yer alır. $C_{V}=C_{V_p}$ $t$$p$

Bilmek isterim:

• Formülasyon 1 veya Formülasyon 2'yi nasıl çözebilirim ?
• Veya bunu çözmek için tamamen farklı bir yaklaşım var mı?

Güncelleme:
Artık bu sorunun çokyüzlülük probleminde Point'e indirgenebileceğini anlıyorum . Bir dış tetrahedron , p dışında uzanan en az bir yüze sahip olacağından , bu yüzdeki herhangi bir keyfi nokta (genel olarak köşeleri hariç) her zaman p dışında kalır . Bu nedenle, t'nin her yüzü için, keyfi bir nokta alıp o noktanın p dışında olup olmadığını test etmem gerekir .$t$$p$ $p$$t$ $p$

Gönderen çokgen noktaya makalesinde Bilmem geldi algoritma döküm Ray ve sayı algoritması Sargı . Işın dökümü, p'nin yüzeyinde noktanın bulunduğu durumlarda sayısal olarak kararlı değildir . Ancak Sargı numarası algoritmasının sayısal sağlamlığı burada ele alınmamıştır. $p$

Yukarıdakilere dayanarak, temel sorunum şimdi görünüyor (lütfen ayrı bir soru olarak sorulup sorulmayacağını belirtin): Çokgen problemi
için sayısal olarak sağlam bir algoritma var mı ?

Geçenlerde, ve diğerleri Alec Jacobson 'genelleştirilmiş sargı numaralarını kullanarak Sağlam iç-dış segmentasyon' bir gazetenin içinde bu soruna bir çözüm bulduk burada . Genelleştirilmiş sarım sayısı kavramını kullanarak bir noktanın isteğe bağlı (kendiliğinden kesişme, manifold olmayan, açık yüzeyler vb.) Poligonal ağın içinde (veya dışında) bulunması sorununu çözer .

$t$$p$