Bir vektör toplamının maksimum bileşenini en aza indirme

Bu optimizasyon sorunu hakkında bir şeyler öğrenmek istiyorum: Verilen negatif olmayan tam sayılar için , bir fonksiyonu bulmak f ifadesini minimize$a_{i,j,k}$$f$

Farklı bir formülasyon kullanan bir örnek daha net hale getirebilir: Size bir dizi vektör kümesi verilir.

{
    {(3, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 2, 0, 0)},
    {(0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0)},
    {(0, 0, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1, 0)}
}

Her kümeden bir vektör seçin, böylece toplamlarının maksimum bileşeni minimum olur. Örneğin,

(1, 0, 2, 0, 0) + (0, 1, 0, 0, 0) + (0, 1, 0, 1, 0) = (1, 1, 2, 1, 0)

maksimum bileşen 2'ye eşittir, burada açıkça optimaldir.

Bunun iyi bilinen bir sorun olup olmadığını ve hangi probleme özgü yaklaşık çözüm yöntemlerinin mevcut olduğunu merak ediyorum. Programlanması hızlı ve kolay olmalıdır ( ILP çözücü vb. Yok ). Tam bir çözüme gerek yoktur, çünkü bu sadece gerçek sorunun bir kestirimidir.

İlgilendiğim sorun örnekleri hakkında bazı ayrıntılar eklemem gerektiğini görüyorum:

• $i \in \{0, 1, \ldots, 63\}$ , yani her zaman 64 satır vardır (yukarıdaki örnekte yazıldığı gibi).
• $j \in \{0, 1\}$ , yani satır başına yalnızca 2 vektör var.
• $k \in \{0, 1, \ldots, N-1\}$ ; burada (vektör uzunluğu) 10 ile 1000 arasındadır.$N$

Dahası, her satırda tüm vektörlerin elemanlarının toplamı aynıdır, yani,

ve toplam vektörün elemanlarının toplamı uzunluğundan daha azdır, yani,

3SAT iki vektör versiyonuna indirgenmesi: bir formül verilen izin indeks değişkenleri, ve indeks maddeleri. Let kez değişken sayısı, pozitif belirir (eğer ) ya da negatif (eğer ) maddesi içinde . OPT az olan formülü (bijection açıktır) karşılanabilir IFF.$i$$j \in \{0,1\}$$k$$a_{i,j,k}$$i$$j = 0$$j = 1$$k$$3$

Bu soruna nasıl saldırırdım: geniş mahalle araması. Herhangi bir çözümle başlayın. Rastgele satırları seçin . Kullanım kaba kuvvet en iyi çözümü bulmak için sadece bu satırların-çok bile ılımlı için yapılabilir üzerinde değiştirebilir sorunu boyutu olduğu göz önüne alındığında satır. Tekrar et.$r$$f$$k$$64$

Problem büyüklüğü bir sabit olarak sabitlendiğinde bir sorunun karmaşıklığını tartışamayız, çünkü karmaşıklık teorisi (çoğunlukla) problem büyüklüğü sonsuzluğa eğilimli olduğu için sorunun karmaşıklığının asimptotik davranışıyla ilgilenir. Burada, hem satır sayısını hem de vektörlerin boyutunu değişken olarak kabul ediyorum.

Daha sonra girişteki rakamlar tekli verilse bile problem NP-tamamlanmış olur. Bu, sorunuzun bir cevabı değildir, çünkü yaklaşımı soruyorsunuz, ancak bir şeydir.

Sorunu titizlikle tanımlayın:

Örnek : n vektörlerin çifti bir _i , b _i ∈ ℕ ^m ( i ∈ {1, ..., n, }) ve K ∈ ℕ, tekli Tüm.
Soru : Biz seçebilir miyim ya bir _i ya b _i her biri için ben bu yüzden bu toplamı o n vektörler en fazla sahip K her koordinat?

Aşağıdakiler, 3-partition adı verilen bilinen bir NP-complete problemidir :

3-bölüm
Örneği : B 4 and ve 3 k tamsayı c ₁ ,…, c _{3 k} , B / 4 ve B / 2 arasında, tek başına, ∑ _{i = 1} ^{3 k} c _i = kB , hepsi tekli.
Soru : Can multiset { Cı ₁ , ..., c _{3 k} } içine bölümlenmiş k MULTISETS S ₁ , ..., S _K , her toplamı şekilde S _j eşittirB ?

Bir örneğini göz önüne alındığında ( B ; C ₁ , ..., c _{3 k} ) aşağıdaki gibi 3-bölme sorun, yukarıdaki sorunun bir örneğini oluşturmak. Her i = 1,…, 3 k ve j = 1,…, k için , c _i'nin S _j'ye ait olup olmadığına dair seçimi temsil eden bir çift 4 k boyutlu vektör oluşturacağız :

• Seçim temsil eden vektör “ C _ı ∈ S _j ” sadece bir sıfırdan farklı bir giriş vardır ( k -1) C _i de j koordine inci.
• “ C _i ∉ S _j ” seçimini temsil eden vektörde ayrıca ( k + i ) koordinatında B olan sıfır olmayan bir giriş vardır .

(Örnek görmek zor değildir B , C ₁ , ..., c _{3 k} 3, her bir vektör seçmek için bir yolu yoktur, ancak ve ancak 3-bölme sorun) bir çözümü vardır k ² inşa böylece bu vektörlerin toplamının tüm koordinatları en fazla ( k −1) B olur . (Aslında, bu olduğunda, toplamın tüm koordinatları ( k −1) B'ye eşittir .) Bu, 3 bölümlü problemden yukarıdaki soruna bir azalmadır.

Şimdiye kadar, sorunun sonunda belirtilen iki ek kısıtlamayı göz ardı ettim, ancak her ikisinin de bu azalmayı biraz değiştirerek uygulanması kolaydır. Her vektörün elemanlarının toplamının eşit olması koşulu, yalnızca 0 veya 1 içeren kukla koordinatlar eklenerek uygulanabilir. Bu toplamın boyuttan küçük olması koşulu, yalnızca 0 içeren kukla koordinatlar eklenerek uygulanabilir.