Belirli bir boyuttaki tüm izomorfik olmayan grafikleri numaralandır

boyutundaki tüm yönlendirilmemiş grafikleri numaralandırmak istiyorum $n$, ancak her izomorfizm sınıfının yalnızca bir örneğine ihtiyacım var . Başka bir deyişle, izomorfik olmayan (yönlendirilmemiş) tüm grafikleri $n$ köşelerinde sıralamak istiyorum. Bunu nasıl yapabilirim?

Daha kesin bir ifadeyle, bir yönsüz grafikler bir dizi üretecektir bir algoritma isteyen , aşağıdaki özelliği ile: Her yönsüz grafik için G ile N köşe, dizin vardır I öyle ki G, izomorf için G i . Algoritmanın mümkün olduğunca verimli olmasını istiyorum; Başka bir deyişle, umurumda olan metrik, bu grafikler listesini oluşturmak ve yinelemek için harcanan zamandır. İkincil bir amaç, algoritmanın uygulanamayacak kadar karmaşık olmaması durumunda iyi olur.$G_1,G_2,\dots,G_k$$G$$n$$i$$G$$G_i$

Her izomorfizm sınıfından en az bir grafiğe ihtiyacım olduğuna dikkat edin, ancak algoritmanın birden fazla örnek üretmesi sorun değil. Özellikle, çıktı sırasının iki izomorfik grafik içermesi sorun değil, eğer böyle bir algoritma bulmayı kolaylaştırır veya tüm olası grafikleri kapsadığı sürece daha verimli algoritmalar sağlar.

Uygulamam aşağıdaki gibidir: büyüklüğündeki tüm grafiklerde test etmek istediğim bir program var . İki grafiğin izomorfik olması durumunda, programımın her ikisinde de aynı şekilde davranacağını biliyorum (her ikisinde de doğru ya da her ikisinde de yanlış olacak), bu nedenle her izomorfizm sınıfından en az bir temsilciyi numaralandırmak yeterlidir ve sonra test bu girişler üzerinde program. Başvurumda n oldukça küçük.$n$$n$

Bazı aday algoritmaları düşündüm:

• Olası tüm bitişik matrisleri, yani köşegenler üzerinde 0'ların hepsine sahip olan tüm simetrik 0 veya 1 matrisleri numaralandırabilirim. Bununla birlikte, bu 2 n ( n - 1 ) / 2 matrisin numaralandırılmasını gerektirir . Bu matrislerin birçoğu izomorfik grafikleri temsil edecek, bu yüzden çok çaba harcıyor gibi görünüyor.$n\times n$$2^{n(n-1)/2}$

• Tüm olası bitişik matrisleri numaralandırabilirim ve her biri için, daha önce çıktığım grafiklerden herhangi birinin izomorfik olup olmadığını test edebilirdim; Daha önce çıktısı olan herhangi birşeye izomorfik değilse, çıktısını alın. Bu, çıktı listesini büyük ölçüde kısaltacaktır, ancak yine de en az hesaplama basamağı gerektirmektedir (grafiğin izomorfizm kontrolünün süper hızlı olduğunu varsaysak bile), bu yüzden benim ölçümümden daha iyi değil.$2^{n(n-1)/2}$

• Bir bitişik matris alt kümesini saymak mümkündür. Özel olarak, bir grafiktir n köşe V = { v 1 , ... , v , n } ben köşe düzenlenmiştir varsayabiliriz genelliği kaybetmeden bu yüzden ° h 1 ≤ ° h 2 ≤ ⋯ ≤ ° h $G$$n$$V=\{v_1,\dots,v_n\}$$\deg v_1 \le \deg v_2 \le \cdots \le \deg v_n$. Başka bir deyişle, her grafik, köşelerin azalan olmayan bir dereceye göre düzenlenmiş olduğu bir bölgeye izomorfiktir. Bu nedenle, yalnızca bu özelliğe sahip olan bitişik matrisleri numaralandırmak yeterlidir. Tam olarak ne kadar bitişik matrisin olduğunu bilmiyorum, ama daha az sayıda ve 2 n ( n - 1 ) / 2 adımdan daha azıyla sayılabilir . hesaplama. Ancak, bu hala çok fazla fazlalık bırakıyor: birçok izomorfizm sınıfı hala birçok kez ele alınacak, bu yüzden bunun optimal olduğuna şüpheliyim.$2^{n(n-1)/2}$$2^{n(n-1)/2}$

Daha iyisini yapabilir miyiz? Doğru anlarsam, yaklaşık izomorfik olmayan grafiklerin denklik sınıfları. Çalışma süresi yukarıdaki algoritmalardan daha iyi olan bir algoritma bulabilir miyiz? ∼ 2 n ( n - 1 ) / 2 / n'ye ne kadar yaklaşabiliriz ? alt sınır? Öncelikle küçük n için izlenebilirliğe önem veriyorum (örneğin, n = 5 veya n = $2^{n(n-1)/2}/n!$$\sim 2^{n(n-1)/2}/n!$$n$$n=5$$n=8$ya da öylesine; bir makul bir tamamlanma Böyle bir algoritma, çalıştırabilir kadar küçük), o kadar çok büyük için asimptotikler ilgili .$n$

İlgili: Eşdeğer olmayan ikili matrisler oluşturmak (ne yazık ki geçerli bir cevap almış gibi görünmese de).

Küçük köşe sayıları için tüm izomorfik olmayan grafikleri numaralandırmanın en kolay yolu, onları Brendan McKay koleksiyonundan indirmektir . Numaralandırma algoritması, McKay'in [1] makalesinde açıklanmıştır ve n-1 boyutunda izomorf olmayanları mümkün olan tüm yollarla uzatarak ve yeni tepe noktasının kanonik olup olmadığını kontrol etmek için çalışmaktadır. gengMcKay'in grafik izomorfizm kontrolünde olduğu gibi uygulanmaktadır nauty.

[1]: BD McKay, etiketli numaralandırma için bir tekniğin uygulamaları , Congressus Numerantium, 40 (1983) 207-221.

Üçüncü fikrinizde bir gelişme öneriyorum: Bitişiklik matrisini sırayla doldurun, dereceleri ve önceden doldurulmuş köşe uçlarına bitişiklik ile eşdeğer olan köşeleri takip edin. Böylece başlangıçta denklik sınıfları aynı derecede olan tüm düğümlerden oluşacaktır.
Yeni doldurulmuş bir tepe noktası eşdeğer düğümlerin sadece bazılarına bitişik olduğunda, herhangi bir seçenek aynı izomirizm sınıflarından temsilcilere yol açar. Bu nedenle, yalnızca şu anda doldurulmuş tepe noktasının en yüksek sayıya sahip eşdeğer köşe noktalarına bitişik olduğu atamayı göz önünde bulundururuz (ve denklik sınıfını kalan işlem için ikiye böleriz).

Bu yaklaşımın tüm isomorfizmleri kapsadığını (ancak ispat etmeye çalışmadığımı) düşünüyorum. $n<6$.
Daha büyük grafikler için, kenarları olan bir alt metinde olduğu gerçeğine dayanan izomorfizmler alabiliriz.$(1,2)$ ve $(3,4)$(ve başkaları yok), iki eşdeğer köşe grubumuz var, ancak bu yaklaşım tarafından izlenmiyor. (Tabii ki uzatılabilir, ancak sadece amaçlayansanız, çabaya değeceğinden şüpheliyim)$n=6$.)

Bu algoritmanın saf bir uygulaması, bitiş noktalarındaki matrisin verilen derecelere ve önceki ödevlere göre doldurulamayacağı sonucuna vardığı için çıkmaz noktalara girecektir. Bunları erken tespit etmek / filtrelemek biraz çaba harcayabilir. Bazı fikirler:

• Derecelerin toplamı tuhafsa, asla bir grafik oluşturmazlar
• Kalan tepe noktalarının tümüne / hiçbirine derhal bağlanması gereken köşeler için girişleri doldurun.

Bu kağıtlar ilgi çekici olabilir.

"Grafiklerin özlü temsilleri üzerine", Gyorgy Turan, Kesikli Uygulamalı Matematik, Cilt 8, Sayı 3, Temmuz 1984, s. 289-294 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X84901264

"Genel etiketsiz grafiklerin özlü gösterimi", Moni Naor, Kesikli Uygulamalı Matematik, Cilt 28, Sayı 3, Eylül 1990, s. 303-307 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X9090011Z

Bir vertex etiketli grafiği kodlamak için kodlama ve kod çözme işlevlerini sunarlar, böylelikle eğer böyle biri iki diğerinin vertex etiketlerine izin veriyorsa ve aynı kodlayıcıya eşlenir.

Ayrıca kodlama ve kod çözme fonksiyonlarının verimli olduğu kanıtlanmıştır.

İlk makale düzlemsel grafiklerle ilgilidir. İkinci yazıda, düzlemsel kısıtlama kaldırılmıştır.

EDIT: Bu makale ayrıca alakalı olabilir:

Polinom Zamanında Grafik İzomorfizmi, Laszlo Babai, Chicago Üniversitesi, arXiv'e Hazırlık, 9 Aralık 2015 http://arxiv.org/pdf/1512.03547v1.pdf

Babai'nin sonucunu açıklaması haberi yaptı: https://www.sciencenews.org/article/new-algorithm-cracks-graph-problem

Fakat belki de OP’lerin sorusunu bu üç bildiri ile karıştırmakla yanıldım. OP, izomorfik olmayan grafikleri numaralandırmak istemektedir, ancak iki grafiğin ne zaman AR izomorfik olduğunu belirlemek için etkili metotların bulunması faydalı olabilir mi?

Doksanlı yılların başlarında tam olarak bu soru ile ilgili bir makale var:

Etiketlenmemiş grafiklerin Leslie Goldberg tarafından listelenmesinde verimli algoritmalar .

Yaklaşım, her izomorfizm sınıfının tam olarak bir temsilcisinin sayıldığını ve sonraki iki grafiğin üretilmesi arasında yalnızca polinom gecikmesinin olduğunu garanti eder.

Burada önerilen yöntemler bu gecikme garantilerine izin vermez: üssel olarak birçok olabilir (in $n$) yeni bir izomorfizm sınıfı keşfedilmeden önce, önceden sayılan bazı grafiklere izomorfik olduğu ve sayılan komşu matrisler.