İkinci dereceden zaman gerektiren makul sorunlar

Ben giriş için ) alt sınırı olan sorun örnekleri arıyorum . $\Omega(|x|^2$ $x$

Sorunun aşağıdaki özelliklere sahip olması gerekir:

$\Omega(n^2)$ herhangi bir algoritma için çalışma zamanı kanıtı - ilk öncelik, mümkün olduğunca alt sınır bağımsız değişkenine sahip olmaktır.
$O(n^2)$ algoritması, mümkünse, basit olanı da.
(veya daha küçük) çıktı boyutu . Açıkçası uzunluğunda çıktı gerektiren herhangi bir sorun en azından benzer çalışma süresi gerektiriyordu, ama aradığım şey bu değil. Herhangi bir karar sorununun buraya uyduğuna dikkat edin. $O(n)$ $\Omega(n^2)$
(mümkünse) "doğal" bir sorun. Resmi bir tanım olmadan, herhangi bir CS mezununun tanıyacağı bir sorun tercih edilir.

Kısa bir süre önce böyle bir sorun soruldu ama basit bir sorunla karşılaşamadım. Aklıma gelen ilk sorun oldu edildi conjuctured bir olmak çalışma zamanı sorunu. Bu yeterince basit değildi ve dahası, konjonktürün yakın zamanda yanlış olduğu kanıtlandı : o. $3SUM$ $\Omega(n^2)$

Son derece doğal olmayan bir sorun gidiş, bir giriş deterministik TM ve giriş olarak alır sorun inanıyoruz $\langle M \rangle,x$ ve sonra bant kafası konumu verir adımda zaman üzerinde çalışıyor muhtemelen soruyu cevaplıyor. $(|M|+|x|)^2$ $x$

Kesinlikle ihtiyacınız varsa, çalışma zamanı tam modelde bağımsız olan sorunları (makul olduğu sürece) tek bant TM modelini kullandığımızı kabul edelim.

Peki, çalışma zamanı olan basit (kanıtlamak için), doğal (iyi bilinen) bir sorun bulabilir miyiz ? $\Theta(n^2)$

— RB
kaynak

Bence "Verilen doğal sayılar

, hesaplama

" yeterlidir. Ayrıca, bu soruyu not edin .

x

$x$

y

$y$

x + y

$x+y$

— Raphael

Çok bantlı Turing makinelerinde süper lineer alt sınırları nasıl kanıtlayabileceğimizi bilmemizin tek yolu köşegenleştirme. Tek bantlı Turing makineleri için, geçiş dizilerini kullanarak biraz daha iyi olabilirsiniz, ancak alanı kısıtlamadığınız sürece

kadar değil .

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus

İlgili başka bir soru için buraya bakın ; geri dönüşün iyi bir aday olduğu görülüyor.

— Raphael

Bir karar problemi ile yapabileceğinizi sanmıyorum, çünkü NP için en iyi bulunan alt sınır O (n) 'dir.

— Albert Hendriks

Yorumunuz için teşekkürler @AlbertHendriks. NP'deki herhangi bir sorun için en iyi bilinen alt sınırın

olduğunu iddia eden bir kaynak / ankete referans verebilir misiniz?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— RB

Yanıtlar:

Kıskanç olmayan bir pasta kesimi bulmak için sorgulama gerekir. Ancak, hesaplama modeli bir Turing makinesinden farklı olduğu için bu doğrudan sorunuza cevap vermez. $\Omega(n^2)$

Bu arada, şu anda bu sorun için bilinen en hızlı algoritma sorgu gerektiriyor, bu nedenle alt sınırdan büyük bir boşluk var - muhtemelen bilgisayar bilimindeki en büyük boşluklardan biri. $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$

— Erel Segal-Halevi
kaynak

Raphael tarafından sağlanan bağlantıda olduğu gibi Peter , Input Reversal'ın vanilya tek bantlı TM'lerde $\Theta(n^2)$ zaman gerektirdiğini gösteriyor . Bir karar sorunu için

L = {x 0^{| x |} x | x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{x0^{|x|}x \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$ da hesaplamak için muhtemelen

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$ zamana ihtiyaç duyar . Bunu görmek için, Peter'in iletişim karmaşıklığı argümanını ve

ihtiyaç duyduğu klasik bir sonucu kullanın

E Q_{n}

$EQ_n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

L

$L$ nin kuadratik alt sınırını göstermek içiniletişim bitleri. Benzer yaklaşım daha doğal bir yaklaşım için geçerlidir

L = {x x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{xx \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$ .

Bu arada, Yuval tarafından bahsedilen "geçiş sırası yöntemi" nin (en iyi bilgime göre) iletişim karmaşıklığı ile matematiksel olarak eşdeğer (veya belki de daha düşük) olduğunu belirtmek gerekir.

Sorunuzu doğrudan yanıtlamayan başka bir aday için, Ryan Williams , zamanında ve aynı anda RAM'lerde alanda karar verilemediğini kanıtladı . Sabit oldukça büyülü görünse de, Fortnow'dan gelen ilk fikir ustaca ama çok da dahil değil. Fikrin ortaya konması için Barak ve Arora ders kitabındaki 101. sayfaya bakınız. $\mathsf{SAT}$ $O(n^{2 \cos(\pi/7)})$ $n^{o(1)}$ $2 \cos(\pi/7) \approx 1.8$

— Lwins
kaynak