Y birleştiricisi Curry-Howard yazışmalarıyla çelişiyor mu?

Y birleştiricisi türüne sahiptir . Curry-Howard Yazışması ile, tipinde yerleşim olduğu için, gerçek bir teorime karşılık gelmelidir. Bununla birlikte, her zaman doğrudur, bu nedenle Y birleştiricisinin türü , her zaman doğru olmayan teoremine karşılık gibi görünür . Bu nasıl olabilir?$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$a \rightarrow a$$a$

Orijinal Curry-Howard yazışması, sezgisel önerme mantığı ile basitçe yazılmış lambda hesabı arasındaki bir izomorfizmdir.

Elbette, diğer Curry-Howard benzeri izomorfizmler var; Phil Wadler ünlü olarak çift namlulu "Curry-Howard" adının "Hindley-Milner" ve "Girard-Reynolds" gibi diğer çift namlulu isimleri öngördüğüne dikkat çekti. "Martin-Löf" bunlardan biri olsaydı komik olurdu, ama değil. Ama konuţuyorum.

Y birleştiricisi bununla çelişmez, tek bir nedenden dolayı: basitçe yazılan lambda hesabında ifade edilemez.

Aslında, bütün mesele buydu. Haskell Curry, türlenmemiş lambda hesabındaki sabitleme noktası birleştiricisini keşfetti ve türsüz lambda hesabının sağlam bir kesinti sistemi olmadığını kanıtlamak için kullandı.

İlginç bir şekilde, Y tipi, Curry'nin paradoksu adı verilen, olması gerektiği kadar iyi bilinmeyen mantıksal bir paradoksa karşılık gelir. Şu cümleyi düşünün:

Bu cümle doğruysa, Noel Baba vardır.

Diyelim ki cümle doğru. O zaman açıkça Noel Baba var olacaktı. Ama bu cümle ne diyor tam olarak, yani cümle olduğunu doğrudur. Bu nedenle, Noel Baba var. QED

Curry-Howard, tip sistemleri mantıksal tümdengelim sistemleri ile ilişkilendirir. Diğer şeylerin yanı sıra, haritalar:

• prova programları
• ispatlar üzerindeki dönüşümlere program değerlendirme
• gerçek önermelere yerleşen tipler
• mantıksal tümdengelim sistemlerine tip sistemleri

$a \to b$$a$$b$$Y (\lambda x. x) \to Y (\lambda x.M)$

Curry-Howard yazışmaları sadece şudur: bir yazışma. Kendi başına, bazı teoremlerin doğru olduğunu söylemez. Tiplendirilebilirliğin / kanıtlanabilirliğin bir taraftan diğer tarafa taşıdığını söylüyor.

Curry-Howard yazışması, birçok tip sisteme sahip bir ispat aracı olarak yararlıdır: basitçe yazılmış lambda hesabı, sistem F, yapı hesabı, vb. ). Ayrıca keyfi tekrarlamaya izin vermeme özelliğine de sahiptirler. Curry-Howard yazışmaları bu iki özelliğin ilişkili olduğunu göstermektedir.

Curry-Howard hala sonlandırılmamış tip taş ve tutarsız kesinti sistemleri için geçerlidir. Orada özellikle kullanışlı değil.