Çerez kutusunda kaç tane kurabiye var? - Fayans yıldızları

Tatil sezonu yaklaşırken biraz tarçınlı yıldız yapmaya karar verdim . Bu eğlenceliydi (ve sonuç lezzetliydi), ama içteki nerd yıldızların ilk tepsisini kutuya koyduğumda saçtı ve tek bir katmana sığmadı:

Neredeyse! Uyum sağlayabilecekleri bir yol var mı? Zaten yıldızları ne kadar iyi döşeyebiliriz? Bunların altı köşeli düzenli yıldızlar olduğu göz önüne alındığında, iyi bilinen altıgen eğimleri kesinlikle bir tahmin olarak kullanabiliriz, şöyle:

^{Sağ üste doğru olanı berbat ettim.}

Ama bu uygun mu? İpuçları arasında bolca yer var.

Bu nedenle, kendimizi dikdörtgen kutular ve altı köşeli, normal yıldızlarla sınırlayalım, yani her ipucu ile komşu köşeleri arasında otuz derece (veya ) vardır. iç yarıçap ve dış yarıçap ile karakterize edilir :$\frac{\pi}{6}$$r_i$$r_o$

^{[ kaynak ]}

Biz altıgenler olduğu Not ve heksagramları için . Bu uç noktaları (çerezler için) düşünmek ve kendimizi arasındaki aralıkla sınırlamak , yani .$r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

Çerezlerim ve kusurları görmezden geliyor - Bir kez form değil, tada gidiyordum!$r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

Yukarıda karakterize edilen yıldızlar için en uygun döşeme nedir? Statik en iyi döşeme yoksa, iyi bir tane bulmak için bir algoritma var mı?

Heksagram davası için sorunuzu kısmen cevaplayayım.

Aşağıdaki döşemeyi yapabilirsiniz

$\hskip1.2in$

Bu şekilde uçağın 12/14 = 6 / 7'sini kaplayacaksınız (kesik dörtgendeki üçgenleri sayın).

Bu uygun mu? Ben öyle düşünürdüm. Kanıt vermeme rağmen bazı argümanlar sunacağım. Sivri uçlu çiviler arasındaki boşluğu (üçgeni) ne kadar iyi doldurabileceğimizi sorabilirsiniz. Yukarıdaki döşemede yarısını dolduruyoruz. Daha iyisini yapabilir miyiz?

$\hskip20mm$

İki heksagramın bu boşlukla kesişmesi mümkündür, ancak daha sonra alanının çok azını kaplarlar (kanıt olmadan). Kesişen yalnızca bir heksagram varsa, ucunun resimde gösterildiği gibi diğer heksagramın içbükey köşesine değdiğini varsayıyorum. Eğer durum böyle olmazsa, kesişen heksagramı bu köşeye taşıyarak iyileşebiliriz (yine burada bir kanıt yok). Bu varsayımlar altında, yan yana temasın olduğu durumun kavşağı maksimuma çıkardığını görmek zor değildir. Matematiği yaparsanız, kavşak alanının değerine eşit olduğunu göreceksiniz

Bu fonksiyonun konusu şuna benzer ve sezgimizin doğru olduğunu gösterir.

$\hskip30mm$

aşağıdakiler, muhtemelen beklenmedik bir şekilde karmaşık olan bu soruna kesin veya özgün / üstün bir saldırı olarak sunulmamıştır, ancak şu ana kadar ele alınmayan ek bilimsel / teorik açılar / genel çalışma olarak sunulmaktadır.

1 ^st bu genel alanı / bilinen olarak sınıflandırılır "Bin ambalaj" ve bu 2d durumdur. matematikle ilgili bazı ünlü kanıtlar vardır, örneğin, Keplers'in küre ambalajına soruşturmasının yüzyıllardır açık bir problem olan ve Hales tarafından bilgisayar kanıtı ile "son zamanlarda" çözülen 3d vakası . Endüstride günlük olarak kullanılan bir örnek 2d durumu, yonga düzenlerini optimize etmektir. açıkçası bu problemden farklıdır, ancak bu tür problemlerin bazı karmaşıklıklarına işaret edebilir. örneğin, bir 2d durumunun 3d durumdan daha basit olacağını gerektiren / gösteren herhangi bir teori görünmemektedir. ayrıca basit bir dikdörtgen sınırın çokgen bir sınır demenin dışında çözümü basitleştirmeye yardımcı olmadığını da unutmayın.

problem ifadesinde bir ızgara üzerine yerleştirme vb.

sorunun koşulları (belki de mantıksız olarak) analitik optimal bir çözüme yol açıyor gibi görünmemektedir. bu, uçağı döşemenin bazı ama çok benzer sorunlarının şaşırtıcı olmadığı bilinmektedir (bu yıllar önce ünlü bir sonuçtu ve birçok referans ve hatta devam eden araştırma var). karar verilebilir (çözülebilir / analitik) ve kararsız problemler arasındaki temel fark, döşemenin "düzenli" olup olmadığıdır. yukarıdaki sorun "normal yıldızlar" anlamına gelir, ancak "normal döşeme" anlamına gelmez. diğer mevcut cevap bir tür düzenli döşeme veya düzen varsayar, ancak "düzenli döşeme" tanımlamasının bile biçimsel / matematiksel olarak çok zor olabileceğini unutmayın.

bunun gibi problemler genellikle genetik algoritmalara oldukça uygundur . böyle bir algoritma, çok fazla iyileştirilmesi muhtemel olmayan "çok iyi" ambalajları bulabilir ve belki de bazı sınırlar, çok ustaca yöntemlerle (yani optimalin yüzde küçük bir hata içinde olması gerekir) iyimserliklerine yerleştirilebilir, ancak optimal.

genel olarak doğrudan uygulanabilir bazı referanslar şunlardır:

• genetik algoritmaların örnek kullanımı. Çokgenlerin paketlenmesi için genetik algoritmalar / Jacobs

• Geometrik Paketleme ve Ölçekleme Sorunları için Algoritmalar Doktora tezi / Michael Formann 1992, 92p, sn 3.6 Ölçeklendirme Yıldız şekilli x-monoton Nesneler p30

• TAHKİM ŞEKİLLERİ İÇİN GEOMETRİK HAZNELİ AMBALAJ ALGORİTMASI / ARFATH PASHA 2003 Yüksek Lisans Tezi 87p

• Bu stackexchange sorusu da yakın. gelişigüzel bir sınır içinde gelişigüzel çokgenleri paketlemek . keyfi sınırlar içindir

Bu özel sorun muhtemelen araştırılmamış olsa da, bu tür sorular Laszlo Fejes Toth tarafından sorulmuştur ve paketleme problemleri olarak bilinir. Pach-Agarwal kitabının üçüncü bölümünü şiddetle tavsiye ediyorum .