İzmorfizmi çizmek için grup izomorfizması

Hesaplama karmaşıklığıyla ilgili bazı blogları okurken (örneğin burada ) İki grubun izomorfik olup olmadığına karar vermenin iki grafiği izomorfizm için test etmekten daha kolay olduğu fikrini özümsedim. Örneğin, belirtilen sayfada, grafik izomorfizminin grup izomorfizminden daha genel bir sorun olduğunu söylüyor.

Bu yüzden aşağıdakileri poz ediyorum

Bir grubu verildiğinde , birisi polinom büyüklüğünde bir grafiği oluşturabilir. öyle ki grupları için veΓ ( G ) | G | Γ $G$$\Gamma(G)$$|G|$G H

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

Azaltma Miller'ın klasik bir makalesinde açıklanmıştır .

Çok hızlı değil. Burada büyük bir belirsizlik var:

Hesaplama için grubunuzu nasıl girersiniz?

Grafiklerin aksine, gruplar girdi büyüklüğü ve sonuç karmaşıklığı açısından çok farklı araçlar olabilir. Miller'da belirtilen sürüm en az doğal olanlardan biridir ve örneğin GAP, Magma veya Sage gibi bir bilgisayar cebir sisteminde bulamazsınız. Bu yüzden teorik bir önceliği olsa da, sorunu çözmeyi söylemek çok ileriye gidecektir.

1. Jeneratörler ve İlişkiler: Grup izomorfizmi kararsızdır (grafik izomorfizmi kararsızdır).

$G$$G=1$

Jeneratörler ve ilişkiler tarafından girilen gruplar için: grup izomorfizmi grafik izomorfizminden daha zordur, aslında kararsızdır.

2. Yazılım sistemleri tarafından kullanılan girdiler: permütasyon ve matris gruplarının grup izomorfizması en azından grafik izomorfizmi kadar serttir (tersi değil).

$p$

Yazılım sistemleri için grup girişi için: grup izomorfizmi en azından grafik izomorfizmi kadar zordur.

3. Teorik Karmaşıklık girdileri: Kara kutu grubu girişi için, grup izomorfizminin NP veya ko-NP'de olduğu bilinmemektedir (grafik izomorfizmi her ikisinde de vardır).

$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$geçerli bir homomorfizmdir. En azından grupların bir sunumuna ihtiyacınız var gibi görünüyor ve bu kolayca elde edilemiyor.

Kara kutu grupları için: grup izomorfizmi en azından grafik izomorfizmi kadar zordur.

4. Cayley tablo girişleri.

1970'lerde Tarjan, Pultr-Hederlon, Miller ve diğerleri, çarpım tablosunun tümünün girdilerinin gruplara grafik olarak da muamele edilebileceğini gözlemlediler. Bu şekilde grup izomorfizmi, polinom zamanında izomorfizmin grafiğini azaltır. Miller, çok sayıda kombinasyon yapısının aynı şeyi yaptığını gözlemleyerek çok daha ileri gitti, Steiner üçe katladı. Ayrıca yarıgrup izomorfizminin grafik izomorfizme eşdeğer olduğunu göstermiştir.

$n^{O(\log n)}$

Cayley tabloları için: grup izomorfizmi, grafik izomorfizmini azaltır.

$n$$O((\log n)^3)$

$n$$O(n^2 \log n)$