Landau terimlerinin toplamı ile ilgili sorun nedir?

14

yazdım

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

ama arkadaşım bunun yanlış olduğunu söylüyor. TCS hile tabaka itibaren toplam olarak da adlandırılır biliyoruz logaritmik büyüme sahip olan . Yani sınırım çok keskin değil, ama ihtiyacım olan analiz için yeterli. $H_n$ $n$

Neyi yanlış yaptım?

Düzenleme : Arkadaşım aynı akıl yürütme ile bunu kanıtlayabileceğimizi söylüyor

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

Şimdi bu kesinlikle yanlış! Burada neler oluyor?

asymptotics landau-notation

— Raphael
kaynak

2

Bu sorunun etiketleri hakkında bir tartışmaya buradan bakın .

— Raphael

etiket algoritmaları hakkında meta tartışma .

— Kaveh

Ayrıca, ortak bir örneğin daha somut bir tedavisine de bakınız: Bu yuvalanmış halkanın asimptotik çalışma süresi nedir?

— Gilles 'SO- kötü olmayı bırak

10

Yaptığınız şey gösterimi çok uygun bir şekilde kötüye kullanmaktır.

Bazı akranlar, bir kümeyi ifade ettiği ve yazdıklarınız üzerinde aritmetik işlemler yapamayacağınız için yazdıklarınızın saçma olduğunu söyleyecektir . $\mathcal{O}(f)$

Ama bu bilgiçler göz ardı ederek varsaymak iyi bir fikirdir açılımı bazı setin üyesi. Yani dediğimizde, eğer bu ise gerçekten kastettiğimiz şey . (Not: bazı bilginler bu ifadede de bir sayı ve olduğunu iddia ederek ürperebilir $\mathcal{O}(f)$ $f(n) = g(n) + \mathcal{O}(n)$ $f(n) - g(n) \in \mathcal{O}(n)$ $f(n)$ $f$ işlevi!)

Bu, aşağıdaki gibi ifadelerin yazılmasını çok kolaylaştırır

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + O (n^{1 / 3})

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + \mathcal{O}(n^{1/3})$

Bunun araçları bazı olmasıdır olduğu gibi $f \in \mathcal{O}(n^{1/3})$

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + f (n)

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + f(n)$

Sizin durumunuzda

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)$

daha da kötüye kullanıyorsunuz ve dikkatli olmanız gerekiyor.

$\mathcal{O}(1)$ $n$ $k$

$k$

$n$ $k$ $\mathcal{O}(1)$ $\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1)$

$k$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$ $g$ $0$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (k)) = O (\sum_{k = 1}^{n} | g (k) |)

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(k)) = \mathcal{O}(\sum_{k=1}^{n} |g(k)|)$

$\mathcal{O}(g(k))$ $h \in \mathcal{O}(g)$ $\sum_{k=1}^{n} h(k)$ $\mathcal{O}$ $n$ $1$

$n$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (n)) = O (n g (n))

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(n)) = \mathcal{O}(n g(n))$

Yani kanıtınız her iki yorumda da doğrudur.

— Aryabhata
kaynak

1

Alt satır: Landau sembolünün her oluşumunun kendi sabitini getirdiğini ( olduğundan) emin olun (emin olun) .

— Raphael

8

$n$ $O(n)$

$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \le \ln n + 1 \le 2n = O(n)$ $\square$

$O(n)$

— JeffE
kaynak

4

Tamam: 1 / i ≤ 1 = O (1).

— JeffE

1

Endişe ikinci eşitlik işaretine yöneliktir. Bunu nasıl doğrularım?

— Raphael

2

Ancak bu da doğrudur. Her biri O (1) olan n terimlerin toplamı gerçekten O (n) 'dir.

— Suresh

2

O

$\cal{O}$

2

\sum_{i} O (1) = O (n)

$\sum_i O(1) = O(n)$

i = O (1)

$i = O(1)$

6

İkinci örnek için, olduğunu iddia edemezsiniz.

i = O (1)

$i = O(1)$

$i$ $n$ $i>n/2$ $i = O(n)$ $i$ $1\cdot n$

\sum_{i = 1}^{n} i = \sum_{i = 1}^{n} O (n) = n O (n) = O (n^{2})

$\sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n O(n)= nO(n) = O(n^2)$

Ancak yapılacak en doğru şey aslında büyük-O notasyonunu sadece sonunda kullanmaktır. Üst, toplamanızı olabildiğince sıkı ve sadece bitirdiğinizde bu tuzaklardan kaçınmak için asimtotik notasyonları kullanın.

— Ran G.
kaynak