Aralıklı toplam probleminin Segment Ağacı uygulaması için Zaman Karmaşıklığı kanıtı

Bölüm ağaçlarının alt dizinin toplamını bulmak için kullanılabileceğini anlıyorum $A$. Ve bunun yapılabileceği$\mathcal{O}(\log n)$zaman burada öğretici göre .

Ancak sorgulama zamanının gerçekten olduğunu kanıtlayamıyorum $\mathcal{O}(\log n)$. Bu bağlantı (ve diğerleri), her düzeyde, işlenen maksimum düğüm sayısının$4$ ve bu yüzden $\mathcal{O}(4 \log n) = \mathcal{O}(\log n)$.

Ama bunu belki de çelişkiyle nasıl kanıtlayabiliriz?

Ve eğer öyleyse, daha yüksek boyutlu dizilerin menzilli toplamı için segment ağaçları kullanırsak, kanıt nasıl genişletilirdi?

Örneğin, orijinal matrisi 4 kadrana bölerek (lineer dizilerde yarılanma aralıklarına benzer şekilde) bir alt matris toplamı bulmayı düşünebilirim, ancak çeyrek daire ağacı oluşturuyor, ancak kanıt beni atlatıyor.

İddia şu ki en fazla $2$her düzeyde genişletilen düğümler. Bunu çelişkiyle kanıtlayacağız.

Aşağıda verilen segment ağacını düşünün.

Diyelim ki var $3$bu ağaçta genişletilmiş düğümler. Bu, aralığın en soldaki en renkli düğümden en sağdaki düğüme kadar olduğu anlamına gelir. Ancak, aralık en sağdaki düğüme uzanırsa, orta düğümün tüm aralığının kapsandığını unutmayın. Bu nedenle, bu düğüm hemen değeri döndürür ve genişletilmez. Böylece, her seviyede en fazla genişlediğimizi kanıtlıyoruz$2$ düğümler ve beri $\log{n}$ düzeyleri, genişletilmiş düğümler $\boxed{2 \cdot \log{n} = \Theta\left( {\log{n}} \right)}$