Bir tanık bulmak, zaten bir tane olduğunu bilsek bile NP-zor olabilir mi?

NP-zor problemlerin yaygın örnekleri (klik, 3-SAT, tepe kapağı, vb.) Cevabın önceden "evet" veya "hayır" olup olmadığını bilmediğimiz türdendir.

Diyelim ki cevabın evet olduğunu bildiğimiz bir problemimiz var, ayrıca polinom zamanında bir tanığı doğrulayabiliriz.

O zaman polinom zamanında her zaman bir tanık bulabilir miyiz? Veya bu "arama sorunu" NP-zor olabilir mi?

TFNP, polinom olarak doğrulanan ve varolduğu garanti edilen değerlere sahip çok değerli işlevler sınıfıdır.

TFNP'de yalnızca NP = ko-NP ise FNP-tamamlanmış bir sorun vardır, bkz.

Nemrut Megiddo ve Christos H. Papadimitriou. 1991. Toplam fonksiyonlar üzerinde, varlık teoremleri ve hesaplama karmaşıklığı. Theor. Comput. Sci. 81, 2 (Nisan 1991), 317-324. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (91) 90200-L

ve içindeki [6] ve [11] referansları. PDF burada bulunabilir .

Hayır, bir çözüm olduğunu bilseniz bile, polinom zamanında her zaman bir çözüm bulamazsınız.

Khanna, Linial ve Safra [1] 'e göre (3. paragrafa bakınız), Karp'ın klasik 1972 çalışmasından, 3 renkle 3 renklendirilebilir bir grafiğin renklendirilmesinin NP-zor olduğu sonucuna varmıştır. (Çalışmaları bunu 4 renklendirilmiş 3 renklendirilebilir grafiğin hala NP-zor olduğunu göstermek için genişletir).

Bunun Rahul Savani'nin cevabı ile çelişmediğini unutmayın . Bunun nedeni , FNP'deki tüm ikili ilişkiler için, P ( x , y ) ilişkide ise polinom zamanında doğrulayabilmemiz gerekir . 3 renkle 3 renklendirilebilir bir grafiğin NP-tamamlanmış olup olmadığına karar verildiği göz önüne alındığında, 3 renklendirilebilir bir grafikte 4 renklendirme bulma sorunu FNP'de değildir, çünkü giriş x'in polinom zamanında geçerliliğini doğrulayamayız. . Dolayısıyla Megiddo-Papadimitriou sonucuyla çelişki yoktur.$P$$P(x,y)$$x$

[1] Khanna, Sanjeev, Nathan Linial ve Shmuel Safra. "Kromatik sayıya yaklaşmanın sertliği hakkında." Teori ve Bilişim Sistemleri, 1993., 2. İsrail Sempozyumu Bildirileri. IEEE, 1993.

Bir NP-ilişkisi, evet-yanıtı-
birlikte-ortak-olmayan polinom-zaman Turing redüksiyonlarına göre NP-zor ise , o zaman$\: NP = coNP \;$.




İspat:



NP-ilişkisi, evet-yanıtı-
birlikte ko-nondeterministik polinom-zaman Turing azaltmalarına göre NP-zor ise , o zaman:

Let böyle bir sabit ilişki olduğu ve izin M ' bir evet-cevap-eş-nondeterministic polinom zamanlı Turing azalma olabilir S A T için R .$R$$M'$$SAT$$R$$\:$ , tarafından verilen coNP algoritması olsun : $M$
$\;$İddia edilen anti- sertifikayı bir iç sertifika ve yanıtlara ayrıştırmaya çalışın .
$\;$Bu başarısız olursa EVET çıktısını verin, aksi takdirde iç anti-sertifika üzerinde çalıştırmayı deneyin. $M'$
$\;$ tekrar sorgular ve verilen yanıtların kullanımı için daha önce verilenle aynı yanıt
$\;$ diğer tüm oracle sorguları için (dış) anti-sertifika. $\:$Eğer daha belirgin kılacak $M'$
$\;$Yanıt sayısından veya herhangi bir sorgusundan daha fazla sorgu ile ilgili değildir . $R$
$\;$sorgunun tepki ya da olur çıkış evet, M çıkışları VAR başka M çıkışları NO. İçin bir kahin olmak yana Ar sadece Oracle'ın yanıtları bağımsız kurallara bağlayan ve M ' evet-cevap okunur azaltma, üretilen sorgu-yanıt çiftleri olan M ' ve geçerli bir anti-sertifika daima kahin uzatılabilir R M böylece S A T'yi çözer$M'$$M$$M$
$R$
$M'$$M'$
$R$$M$$SAT\hspace{-0.02 in}$.
Böylece$\: SAT\in coNP \;$.
Yana ise N P deterministik polinom zamanlı azalmalara göre -Sert$SAT$$NP$$\: NP\subseteq coNP \;$.
Simetri ile,$\: coNP \subseteq NP \;$. $\;\;\;\;$ Böylece $\: NP = coNP \;$.


Bu nedenle, eğer bir NP-ilişkisi sadece evet-yanıtı-
birlikte-ortak-olmayan polinom-zaman Turing azaltmalarına göre NP-zor ise , o zaman$\: NP = coNP \;$.

Bu sorunun kesin yorumlanması üzerine hafifçe bağlıdır, ama senin senaryo jenerik olarak bir sorun bazı evrensel sabit polinom zaman algoritması verilen 'HESAPLAMA Y' olarak tarif edilebilir düşünüyorum ve polinom s girişinde, ⟨ x , 1 n ⟩ , çıktı bir dizi y ∈ { 0 , 1 } s ( n ) , öyle ki , T ( x , y , 1 , n ) 1 verir, ve y , her zaman mümkün olan tüm için var x .$T$$p$$\langle x, 1^n \rangle$$y \in \{0,1\}^{p(n)}$$T(x,y,1^n)$$y$$x$

O zaman bir soru 'COMPUTE Y' için bir polinom zaman algoritmasının P = N P'yi gösterip göstermediği olabilir$P = NP$

Bu durumda, bir kahinin çağrı sabit numarası ile polinom sürede (diyelim) 3SAT çözebilir varsayalım o çözer 'HESAPLAMA Y', yani bazı algoritması nereye A ( φ ) = 1 ancak ve ancak φ karşılanabilir olduğunu, A ( φ ) = 0 aksi takdirde. Çıkış bitini çevirerek algorithm A , $A$$A(\phi) = 1$$\phi$$A(\phi)=0$$\bar{A}$ancak ve ancakφkarşılanabilir ve ˉ bir (φ)=1ise$\bar{A}(\phi) = 0$$\phi$$\bar{A}(\phi) = 1$$\phi$ tatmin edilemez.

Bu algoritmayı ('COMPUTE Y' için bir kehanet kullanan), her bir oracle çağrısını T çağrısıyla kontrol edebileceğiniz belirsiz olmayan bir y tahmininin yerini alarak, belirsiz bir algoritmaya ( oracles kullanan) dönüştürün . Artık tatmin edilemez 3CNF örneklerini başarıyla karar veren belirsiz bir algoritmaya sahipsiniz, bu yüzden N P = c o N $\bar{A}$$y$$T$$NP = coNP$

Bir kenara, eğer , bu tüm N P tam problemlerinin ( k -clique veya 3SAT gibi) karar problemi kolay (her zaman 'evet') olan ancak arama sürümü N P olan hafif varyasyonlara sahip olduğunu ima eder. -zor$NP = coNP$$NP$$k$$NP$