Gödel'in eksiklik teoremi, durma problemi ve üniversal Turing makineleri arasında somut bir ilişki var mı?

75

Her zaman belirsiz bir şekilde yukarıdaki sorunun cevabının aşağıdaki satırlar boyunca olumlu olduğunu düşündüm. Gödel'in eksiklik teoremi ve durma sorununun kararsızlığı hem karar verilebilirlik konusunda olumsuz sonuçlar doğuruyor hem de diyagonal argümanlarla (ve 1930'larda) ortaya çıkar, bu nedenle aynı konuları görmenin iki yolu olmalılar. Ve Turing'in durma probleminin çözülemez olduğunu göstermek için evrensel bir Turing makinesi kullandığını düşündüm. (Ayrıca bu matematik.SE sorusuna bakın .)

Ama şimdi (hesaplanabilirlik dersi verirken) bu konulara daha yakından bakıyorum, bulduklarım karşısında şaşkınım. Bu yüzden düşüncelerimi düzeltmek için biraz yardım istiyorum. Bir yandan Gödel'in diyagonal argümanının çok ince olduğunu fark ettim: kendi türetilebilirliği hakkında bir şeyler söylediği şeklinde yorumlanabilecek bir aritmetik ifade oluşturmak için çok fazla çalışmaya ihtiyacı var. Öte yandan, burada bulduğum durma sorununun kararsızlığının kanıtı son derece basittir ve evrensel Turing makinelerinin varlığından bağımsız olarak, açıkça Turing makinelerinden bahsetmez.

Evrensel Turing makineleri hakkında pratik bir soru, evrensel bir Turing makinesi alfabesinin, simüle ettiği Turing makineleriyle aynı olması önemli olup olmadığıdır. Uygun bir çapraz argüman oluşturmak için (makinenin kendisini simüle etmesiyle) gerekli olacağını düşündüm, ama ağda bulduğum evrensel makinelerin açıklamaları koleksiyonunda bu soruya hiç dikkat etmedim. Durma sorunu için değilse, evrensel Turing makineleri herhangi bir diyagonal argümanda yararlı mıdır?

Sonunda, bu bölümden sonra kafam karıştı.Gödel'in eksikliğinin daha zayıf bir biçiminin durma probleminden kaynaklandığını söyleyen aynı WP makalesinin açıklaması: “doğal sayılarla ilgili tüm ifadelerin eksiksiz, tutarlı ve sağlam bir aksiyomlaştırılması“ “ses” in zayıflamanın olduğu yerlerde ”elde edilemez. Bir teorinin, bir çelişki doğuramadığı takdirde tutarlı olduğunu biliyorum ve doğal sayılarla ilgili tam bir teori, doğal sayılarla ilgili tüm gerçek ifadelerin içinde türetilebileceği anlamına gelir; Gödel'in böyle bir teorinin var olmadığını söylediğini biliyorum, ancak böyle bir varsayımsal canavarı nasıl sağlam olamayacağını, yani doğal sayılar için yanlış olan ifadeleri türetmediğini de göremiyorum: böyle bir ifadenin ihlali doğru olur ve bu nedenle, bütünlük halinde tutarlılık ile çelişecek olan türetilebilir.

Bu noktalardan biriyle ilgili herhangi bir açıklamayı takdir ediyorum.

— Marc van Leeuwen
kaynak

Bir kavramsal probleminiz var: algoritmik karar verilebilirlik (Durma problemi) ve türetilebilirlik yanıtı. üretilebilirlik (mantık) iki farklı kavramdır; Her ikisi için de "karar verilebilirlik" kullanıyor görünüyorsunuz.

— Raphael

1

@Raphael: Eksiklik teoremi ile durma probleminin kararsızlığı arasında büyük bir kavramsal fark olduğunu çok iyi biliyorum. Bununla birlikte, negatif eksiklik formu: yeterince güçlü bir biçimsel sistem hem tutarlı hem de tam olamaz, kararsızlık ifadesine dönüşür: biçimsel bir sistemde çıkarılabilir teoremler kümesi yapı ile yarı kararsız olduğundan, tamamlayıcılık -senin yarı kararını verebilir (teoremlerin ihmali, tutarlılığı varsayarak, ya da boş küme olarak), dolayısıyla karar verilebilir.

— Marc van Leeuwen

evet, aslında iki kanıt kavramsal olarak aşırı derecede benzerdir ve aslında buna bakmanın bir yolu, Godel'in aritmetik olarak bir tür tam kapsamlı mantık oluşturmasıdır. Bu kavramsal denkliği gösteren birçok kitap var. örneğin, hofstadter veya Emperors'dan Godel Escher Bach'ın penrose tarafından Yeni Zihin ....

— vzn

Biraz ilgili ... Hofstadter'in Kaplumbağa'nın Aşil'in rekor oyuncusunu kırmaya devam ettiği durma problemine başvururken sürekli olarak yanlış anlarım. Aslında, bu konuyu kafa karışıklığımı arayarak buldum. Parabel'in durma sorununa daha doğal ve doğrudan çevirdiğini hala hissediyorum, ancak bu her iki teoremi de derinlemesine anlayamıyor.

— micans

32

Scott Aaronson'un blog yazısını Eksiklik Teoreminin bir kanıtı olup olmadığını Turing makineleri ve Rosser's Teoremi ile kontrol etmenizi öneririm . Eksiklik teoreminin kanıtı son derece basit ve takip etmesi kolaydır.

— Marcos Villagra
kaynak

Bu bağlantı için teşekkür ederim, bu benim endişelerime en yakın olduğu için şimdilik kabul ediyorum. İlk başta oldukça rahatsız olmuştum: " " nin mümkün değilse " ", tutarlı bir ) "yerine" her gerçeğin bir türetilebilir olduğunu "(sesin bir sohbeti) anlamına geldiği için" tamam "ı yanlış . Scott Aaronson, “tamam” ın anlamını dinleyici olarak kabul ediyor gibi gözükse de, (ki kesinlikle değilim); yanlış anladığıma göre ne yazdığını anlamsız. Hatamı bulduktan sonra yazıyı oldukça ilginç buluyorum.

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

— Marc van Leeuwen

1

Hesaplanabilirlik ile ilgili bölümdeki Hesaplamanın Doğası ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) kitabında da benzer bir venin kanıtı var . Orada, yazarlar Rosser'in teoremini kullanmaktan kaçınırlar ve yalnızca evrensel makinelerin varlığını varsayarlar (yani, Turing-Turing Thesis). Kesin referans 7.2.5 sayfa 238'tir.

— Marcos Villagra

21

Neel Krishnaswami'nin Halting problemine cevabı , hesaplanamayan kümeler: ortak matematiksel kanıt? CSTheory , yukarıdaki sonuçları kategori teorisi şemsiyesi altında birleştiren referanslara işaret etmektedir.

— Suresh
kaynak

1

Bu yazıda cstheory cevabında bahsedilmemiştir (ancak Andrej Bauer'ın cevabından aldığı blog yazısı yorumunda yer almaktadır), fakat muhtemelen de iyi bir genel bakış.

— Artem Kaznatcheev

Bu, sonuçlar arasındaki çıkarımlardan ziyade ispatların benzerliğine dayalı bir bağlantı değil mi?

— Raphael

1

Makalede Artem'ın bağlantı verdiği görüş, bunların hepsinin tek bir kategori teorik gerçeğin tezahürleri olduğu yönünde.

— Suresh

16

(Bu Suresh'in cevabına bir yorum olması gerekiyordu, ama oraya sığması çok uzun. Bu yüzden, Marc'ın sorusunu gerçekten cevaplamaması için şimdiden özür dilerim.)

Neel'in cevabını buluyorum Durma problemi, hesaplanamayan kümeler: ortak matematiksel kanıt? CSTheory ve Andrej Bauer'ın blogunda iki nedenden dolayı tatmin edici değil.

Öncelikle, bağlantıyı açıklamak için genellikle tüm kategori teorik jargonlara ihtiyacımız yoktur. Kararsız bir dilin varlığı, çok temel bir çapraz kanıtı olan Cantor Teoremi tarafından ima edilir . Bunun nedeni, program setinin eşdeğer olmasıdır . Öte yandan, her dil in bir alt kümesi olarak görülebildiğinden ve bu nedenle tüm dillerin kümesi eşittir . Cantor Teoremi olarak, oradan hiçbir örten olduğunu üzerine ve böylece biz karar verilemez bir dil bulunmalıdır biliyorum. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

İkincisi, yukarıdaki ispat tatmin edici değildir, çünkü makul bir kararsız dilin örneğini "görmek" istiyoruz. Yukarıdaki kanıt sayım bir argüman olarak görülebilir ve bu nedenle bu anlamda "yapıcı" değildir. Turing, durma problemini bir örnek olarak keşfetti.

— Dai
kaynak

+1 Bu daha basit bir yaklaşım, ancak yine de bundan şüpheliyim: "ve dolayısıyla kararsız bir dil olması gerektiğini biliyoruz." Kararsız bir dil ile kararsız bir problem arasındaki farkı belirtebilir misiniz?

— Hernan_eche

1

@Hernan_e Gerçekten "fark" yok. Hesaplama teorisindeki bir karar problemi, girişleri kümesinde herhangi bir evet veya hayır sorusu olarak tanımlanabilir . Böylece, her karar problemini ( cevabın evet olduğu girdilerin ayarlanan ya atayabiliriz . seti probleminin tanımladığı dildir .

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

— Dai

Anladım, çok açıksınız, sayma argümanının tamamen tatmin edici olmadığı konusunda hemfikirsiniz, ancak örnek olmasa bile, belki de en kötü bölüm ın sonsuz olduğunu düşünüyorum, o zaman orada söylemekte büyük bir sürpriz yoktur. kararsız dillerdir, sonlu bir durumun nedenini ( sınırlamak daha iyi söylenir ) uzatmak için harika olurdu , (kararsız bir sorunun örneğini sormuyorum), ancak sonlu bir set için geçerli olan benzer bir kanıtı (veya kullanımdan kaldırmak) yerine kabul edilen girdilerin listesi

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

— Hernan_eche

Ancak köşegen argümanı gerçekten yapıcı bir kanıt. Cantor Teoremine indirgenmenizin yanı sıra, karar verilemez dil, kodlaması kabul edilen dilde olmayan tüm makinelerin kümesidir.

— Willard Zhan

6

Universal Turing makineleri, bazı çapraz argümanlar için, örneğin zaman veya mekan karmaşıklığı hiyerarşilerinde bazı sınıfların ayrılmasında faydalıdır : evrensel makine, de bir karar sorunu olduğunu kanıtlamak için kullanılır. ama . (WP makalesinde daha iyi sınırlar bulunabilir) $\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

Bununla birlikte, tamamen dürüst olmak gerekirse, yakından bakarsanız, evrensel makine “olumsuz” kısımda kullanılmaz: kanıt , durma sorununun zaman sınırlı bir sürümünü çözecek ve daha sonra inşa etmeye devam edecek bir makine olduğunu varsayar. . (Burada evrensel makine yok) Üniversal makine, durma probleminin zaman sınırlı versiyonunu daha büyük bir sürede çözmek için kullanılır. $K$ $¬KK$

— jmad
kaynak

Yeterince sabit olmayan f (n) için.

— Yonatan N.

0

“Durma sorunu için değilse, evrensel Turing makineleri herhangi bir diyagonal argüman için faydalı mıdır?”

Rice teoremi esasen Turing makinelerine karşı köşegenleştirme genellemesidir. Bu, tüm Turing makineleri için geçerli olmadıkça veya hiçbir Turing makinesi olmadıkça, tüm Turing makineleri için tek bir algoritma ile tüm Turing makineleri için karar verebileceğiniz hiçbir özellik olmadığını gösterir. Tüm Turing makineleri için sahip olan veya Turing makineleri olmayan mülklerin köşegenleştirme nesnesinin Turing makinesi olmasını engellediğine dikkat edin, bu nedenle mülk hakkındaki kararla çelişmek için ilk etapta listede olamaz. Aslında bu tekköşegenleştirme nesnesinin listede olmasını engelleyen ve Turing makinelerinin tüm özellikleri olan özellik hakkındaki karara aykırı olan şey kararsızdır. Köşeleştirme nesnesinin, karar vermeye çalıştığınız şeylerin bir listesine üye olmasının gerekmesine rağmen, yine de karara itiraz etmenin bu örüntüsü, Lawvere teoreminin (Suresh'in cevabındaki bağlantıya atıfta bulunulan) yakaladığı kritik soyutlamadır. köşegenleştirme kavramını tamamen genelleştirmek için. Şimdi, deneyimle, neredeyse her köşegenleştirmenin, matematiksel mantıkta son derece önemli bir sonuca götüren ortak bir özelliği olduğunu göründüğünü bildiğimiz için, Lawvere teoremini oldukça ilginç bir araç haline getiriyor.

— stoopkid
kaynak