Dikdörtgen parçalarla kaplamanın NP sertliği (Google Hash Code 2015 Test Turu)

Google Hash Code 2015 Test Turu ( sorun bildirimi ) aşağıdaki sorunu sordu:

• giriş: işaretli bazı kareler içeren bir ızgara eşik değeri maksimum alanT ∈ N A ∈ $M$$T \in \mathbb{N}$$A \in \mathbb{N}$
• çıktı: tamsayı koordinatlarına sahip bir dizi ayrık dikdörtgen kümesinin mümkün olan en büyük toplam alanı, böylece her bir dikdörtgen en az işaretli kareler içerecek ve her bir dikdörtgen en fazla alanına sahip olacak .T $M$$T$$A$

Google'ın terminolojisinde ızgara bir pizza, işaretli kareler jambon ve ayrık dikdörtgenler dilimlerdir.

Ek bir girişi ekleyerek bu sorunu açıkça bir karar sorununa yeniden ve cevabın "toplam alanı en az kare olan koşulları karşılayan bir dizi ayrık dikdörtgen var mı? "$n \in \mathbb{N}$$n$

Benim sorum: Google sorunu, adaylardan belirli bir örnekte hesaplama problemi için "olabildiğince iyi" bir çözüm bulmalarını isterken, genel sorunun (karar ifadesinde) NP-tam olması muhtemel olduğunu düşünüyorum. Ancak NP sertliğini göstermek için bir azalma bulamıyorum. (NP üyeliği anında gerçekleşir.) Bu sorunun NP-zor olduğunu nasıl kanıtlayabilirim?

Sorunu görselleştirmeye yardımcı olmak için birkaç örnek aşağıda verilmiştir. Göz önünde ile ızgara işaretlenmiş kareler ile , ve , işaretli kareleri belirtmek için grafik olarak gösterilir:4 { 0 , 1 , 2 , 3 } × { 0 , 1 , 2 , 3 } ( 1 , 1 ) ( 0 , 2 ) ( 2 , 2 $4$$4$$\{0, 1, 2, 3\} \times \{0, 1, 2, 3\}$$(1, 1)$$(0, 2)$$(2, 2)$X

..X.
.X..
..X.
....

Takım (en çok dikdörtgenlerini kareler) ve (kapaklar tüm kılavuz olduğu), aşağıdaki dikdörtgenler almak, optimal bir çözeltisi (kare dikdörtgen başına işaretlenmekte, en az bir,):6 T = $A = 6$$6$$T = 1$

aaAa
bBcc
bbCc
bbcc

Aşağıdaki ızgarada, ve :T = $A = 3$$T = 2$

XXX
.X.
...

Kişi sadece üç kareyi örtmekten daha iyisini yapamaz:

AAA
.X.
...

veya

XBX
.B.
.b.

(bölümdeki dikdörtgenlerin çakışmayacağını unutmayın).

Bu soruya bakan diğer insanlarla birlikte, çöp paketlemesinden, sorunları, 3-SAT ve Hamilton döngülerini kapsayan indirimleri denedik ve birini işe almayı başaramadık.

Bu MONOTONE KÜP PLANAR 1-3 SAT'ın azaltılmasının bir taslağıdır:

Tanım [1-3 SAT sorunu]:
Girdi: 3-CNF formülü , içinde her yan tümcesi tam olarak üç değişmez içerir: . Soru: için , her yantümcesinin tam olarak bir gerçek değişmezi içermesi için tatmin edici bir atama var mı?$\varphi = C_1 \land C_2 \land ... \land C_m$$C_j$$C_j = (\ell_{j,1} \lor \ell_{j,2} \lor \ell_{j,3})$
$\varphi$$C_j$

Cümlelerdeki tüm değişmez değerler pozitif olsa bile (MONOTONE), değişkenlerle bağlantılı grafik yapılı cümle düzlemleri (PLANAR) ve her değişken tam olarak 3 cümle (CUBIC) içeriyorsa bile sorun NP-tamamlanmış olarak kalır (C. Moore ve JM) Robson, Basit fayanslarla sert döşeme problemleri, Kesikli Bilgisayar Geom.26 (2001), 573-590.).

Kullandığımız ve şekillerde jambon mavi kutularla temsil edilir (transgenik jambon?), Turuncu kutuları pizza.$T=3, A=6$

Fikir, pozitif veya negatif sinyaller taşıyan jambon parçalarını kullanmaktır; pist, alanının bir dilim pizzasıyla tam olarak kaplanabilecek kadar yeterince yerleştirilmiş 1 ve 2 parça jambonun bir değişimi ile yapılır ; parçanın bölümleri dönüşümlü olarak veya ile işaretlenirse , dilimler pozitif segmentler üzerinde kesilirse, parça pozitif bir sinyal taşır:$A$$+$$-$

Tam olarak 3 SAT bağlanan her bir değişkeni , üç jambon yolunun (pozitif segment) üç bitişik uç temsil edilir, böylece kesmenin 2 farklı yolu olacak şekilde, biri pozitif bir sinyal "üretecektir" 3 parçanın hepsinde ( atamayı temsil eder) diğeri negatif sinyal ( ). Ayrıca karışık pozitif ve negatif sinyaller üretebileceğimize dikkat edin, ancak bu durumda en az bir jambon açıkta kalır .$x_i$$x_i = TRUE$$x_i = FALSE$

1-3 SAT formülünün her bir cümlesi , 3 değişmez , üç ayrı jambon parçasının üç gelen pozitif segmentine sahip tek bir jambon ile temsil edilir. ; yapı ile pozitif sinyal taşıyan üç kanaldan sadece biri ham maddeyi "kaplayabilir".L i , 1 , L i , 2 , L i , $C_j$$L_{i,1}, L_{i,2}, L_{i,3}$

Son olarak, alttaki düzlemsel grafiğe göre sinyalleri taşımak ve uç noktaları ayarlamak için shift ve turn gadget'ları oluşturabiliriz:

Elde edilen grafiğin jambonu içerdiğini varsayalım . Yapım aşamasında her pizza dilimi tam olarak 3 jambon içermelidir ve her durumda her dilim alanına kadar büyütülebilir .$H$$A$

Orijinal 1-3 SAT formülü tatmin edilebiliyorsa, inşaat yoluyla adet pizza kesebiliriz (toplam alanı ile ) ve jambon açıkta kalmaz.A H /$H /3$$A H / 3$

Ters yönde, eğer parça pizzayı kesebilirsek (toplam alan ), o zaman jambon açığa çıkmaz ve değişken gadget'ları ve yan maddelerdeki sinyaller tutarlıdır: fıkradaki jambon kaplıdır pozitif bir değişkenten gelen tam bir pozitif dilim ile ve her değişken 3 pozitif sinyal veya 3 negatif sinyal üretir (karışık sinyal yok); böylece kesikler geçerli bir 1-3 SAT atamasına neden olur.A H /$H /3$$A H / 3$