Bir antiderivatifin kontrol edilmesine karar verilebilir mi?

9

Diyelim ki iki işlevi vardır varsayalım ve ve ben olmadığının belirlenmesinde ilgilenen kulüpler $F$ $G$

F (x) = \int G (x) d x .

$F(x) = \int G(x)dx.$

Diyelim ki işlevlerim temel işlevlerden (polinomlar, üstel, günlükler ve trigonometrik işlevler) oluşuyor, ancak Taylor serisinden oluşmuyor.

Bu sorun karar verilebilir mi? Değilse, yarı-doğrulanabilir mi?

(Soruyorum çünkü hesaplanabilirlik hakkında bir ders veriyorum ve bir öğrenci bana TM'nin integrali henüz bilinmeyen bir fonksiyonu entegre etmenize yardımcı olup olamayacağını sordu. Nasıl entegre edeceğimizi bilmediğimiz fonksiyonların daha fazla olduğundan şüpheleniyorum integrali, aslında integrali bilmediğimiz fonksiyonlardan ziyade yukarıdaki temel fonksiyonların bir kombinasyonu olarak ifade edilemeyen düzgün fonksiyonlar, ancak bu, integralleri kontrol etme genel probleminin karar verilebilir olup olmadığını düşünmemi sağladı.)

— templatetypedef
kaynak

Sembolik farklılaşmayı soruyor gibisiniz. En.wikipedia.org/wiki/Symbolic_computation ve en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system adresine göz atabilirsiniz . Hangi sınıf işlevlerine izin verdiğinizi net olarak bilmiyorum. Ne tür kompozisyonlara izin veriyorsunuz? örneğin, izin veriliyor mu? Özyinelemeli bir tanım kullanarak önem verdiğiniz işlevlerin sınıfını biçimlendirmeye çalışmanızı öneririm. Zincir kuralını kullandığınızda ne olduğunu görmeye çalıştınız ve tüm durumları işleyen bir özyinelemeli algoritma alıp alamayacağınızı gördünüz mü?

F (x) = \sin (\cos (e^{x})) + \log (2 x^{3} + 3)

$F(x)=\sin(\cos(e^x)) + \log(2x^3+3)$

— DW

3

Farklılaşma kolay olduğundan, gerçekten bir ifadesinin aynı şekilde sıfır olup olmadığına karar verip vermeyeceğimizi soruyorsunuz . Bu muhtemelen bilginin daha kolay bulunabileceği bir sorundur.

F

$F$

— Yuval Filmus

8

Sorunuzun kısa cevabı "hayır" dır. Richardson teoremi ve daha sonraki uzantıları temelde devlet olduğu en kısa sürede temel trigonometrik fonksiyonlar, karar vermekte güçlük dahil olarak eğer (ve dolayısıyla eğer , bu aynı olduğundan ) çözülemez. $f(x) = 0$ $f(x) = g(x)$ $f(x) - g(x) = 0$

Bununla ilgili ilginç olan, gerçek kapalı alanların birinci dereceden teorisinin karar verilebilir olmasıdır. Sezgisel olarak, trigonometrik fonksiyonların eklenmesinin birinci dereceden sistemi kararsız hale getirmesinin nedeni, tamsayıları yoluyla yapılandırabilmeniz ve tamsayıların teorisinin kararlaştırılamamasıdır. . $\{ x \in R : \sin(\pi x) = 0 \}$

ile gerçek kapalı alanlar teorisinin karar verilebilir olup olmadığı oldukça ünlü bir açık sorundur . $e^x$

Daha da ilginci şu o size sürekli bir sorun "çözüldü" bir kahini olsaydı (yani eğer söyleyebilirim bir kahin veya olmasın), sonra sonlu açısından temel fonksiyonların entegrasyonu Karar verilebilen olduğunu ve pratik bir algoritma bilinmektedir. Dolayısıyla verildiğinde , bulabiliriz veya sonlu terimlerle temel integrali olmadığını biliriz . $f(x) = 0$ $G(x)$ $F(x)$ $G$

— takma ad
kaynak

6

Sorununuz aşağıdaki basit soruyu azaltıyor gibi görünüyor:

Fonksiyon sınıfında iki fonksiyonu verildiğinde tüm için mı? (Başka bir deyişle, her yerde aynı değere sahipler mi?) $F,G$ $F(x)=G(x)$ $x$

Bu işlev sınıfı için bunun karar verilebilir olup olmadığını bilmiyorum. Eğer öyleyse, probleminiz de karar verilebilir olmalıdır.

Senin sorun için, genel bir yaklaşımdır: sembolik ayırt etme almak için o zaman var olup olmadığını kontrol herkes için . $F(x)$ $F'(x)$ $F'(x)=G(x)$ $x$

Yani kilit adım sembolik farklılaşmadır. Bunu daha ayrıntılı olarak nasıl yapacağımıza bakalım. İzin verilen işlevlerin sınıfını özyineli olarak tanımlayabiliriz:

F (x) ::= c | x | e^{x} | \log (x) | \sin (x) | \cos (x) | \tan (x) | F_{1} (x) + F_{2} (x) | F_{1} (x) \times F_{2} (x) | F_{1} (x) / F_{2} (x) | F_{1} (F_{2} (x))

$\newcommand{\or}{\;\vert\;} F(x) ::= c \or x \or e^x \or \log(x) \or \sin(x) \or \cos(x) \or \tan(x) \or F_1(x) + F_2(x) \or F_1(x) \times F_2(x) \or F_1(x)/F_2(x) \or F_1(F_2(x))$

burada sabitler üzerinde değişir ve işlevler üzerinde değişir. $c$ $F,F_1,F_2$

Daha sonra, standart hesap kurallarını (örneğin, zincir kuralı, vb.) Kullanarak, bu fonksiyon sınıfını sembolik olarak farklılaştırmak için özyinelemeli bir algoritma tasarlamak mümkündür. Özellikle, yukarıdaki her durumu ele alabilir ve yinelemeli olarak türevin bu sınıf içindeki bir fonksiyon olarak sembolik olarak ifade edilebildiğini gösterebiliriz. Örneğin:

Eğer , . $F(x)=c$ $F'(x)=0$
Eğer , . $F(x)=x$ $F'(x)=1$
Eğer , . $F(x)=e^x$ $F'(x)=e^x$
Eğer , . $F(x)=\log(x)$ $F'(x)=1/x$
Eğer , . $F(x)=\sin(x)$ $F'(x)=\cos(x)$
Eğer , . $F(x)=\tan(x)$ $F'(x)=1 + (\tan(x))^2$
Eğer , . $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x)+F'_2(x)$
Eğer , . $F(x)=F_1(x) \times F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x) F_2(x) +F_1(x) F'_2(x)$
Eğer , (zincir kuralı). $F(x) = F_1(F_2(x))$ $F'(x) = F'_1(F_2(x)) F'_2(x)$

Ve bunun gibi. Eğer her bir durumda, izin verilen fonksiyonların sınıfta, o zaman bir ve yinelemeli için sembolik bir ifade çalışabilir -, bu şekilde bilinen sembolik farklılaşması . $F(x)$ $F'(x)$ $F'(x)$

Son olarak, geriye kalan tüm için olup olmadığını kontrol etmektir . Cevabımın tepesinde bahsettiğim sorun bu. $F'(x)=G(x)$ $x$

Pratikte oldukça iyi çalışmayı bekleyebileceğim iki işlevin aynı olup olmadığını kontrol etmek için basit bir yöntem var. Algoritma şudur: tekrar tekrar rasgele bir değeri seçin ve in bu değerini tutup tutmadığını kontrol edin . Rastgele seçilen birçok için eşitlik taşıyorsa , çıktı "eşittir". olan herhangi bir bulursanız , "bunlar farklı" olur. $x$ $F(x)=G(x)$ $x$ $x$ $x$ $F(x)\ne G(x)$

Bunun işe yarayacağına dair bir garanti yoktur, ancak birçok işlev sınıfı için bu prosedürün çıktısı yüksek olasılıkla doğru olacaktır. Özellikle, bazı dağılımına sahip varsayalım rastgele değişken ile temsil edilen ve bazı öyle ki tüm tutan sınıfında. Dahası, izin verilen işlevler sınıfının çıkarma altında (sınıfınız olduğu gibi) kapalı olduğunu varsayalım. Daha sonra , yukarıdaki prosedürün turunun en fazla olasılıkla yanlış cevap verdiği . $x$ $X$ $\epsilon>0$ $\Pr[F(X)=0] \ge \epsilon$ $F$ $r$ $(1-\epsilon)^r$

Ayrıca, polinom eşitlik testi için rastgele bir prosedür varsa, sorun karar verilebilir.

Böyle bir sonucun sizin özel sınıflarınız için geçerli olup olmadığını sormaya devam etmektedir. Yukarıdaki ifade muhtemelen geçerli olmayacaktır. Ancak, şanslıysak, belki aşağıdakine benzer bir şeyi kanıtlayabiliriz:

Tüm , gerçek sayılar üzerinde bir dağılım, yani rastgele bir ve sabit bir , öyle ki tüm fonksiyonlar için de geçerlidir sınıfınızda ve en fazla "boyutu" var . $s \in \mathbb{N}$ $X_s$ $\epsilon_s > 0$ $\Pr[F(X)=0]$ $F$ $s$

Bu doğruysa, o zaman polinom eşitlik testi için rastgele bir algoritma olduğunu ve dolayısıyla probleminizin karar verilebileceğini takip edecektir.

— DW
kaynak