Rastgele Eritilebilir Öbek - Beklenen Yükseklik

Rastgele Eritilebilir Yığınlar , daha sonra insert dahil diğer tüm işlemleri tanımlamak için kullandığımız bir işlem " kaynağına " sahiptir.

Soru şu ki, o ağacın beklenen yüksekliği nedir? $n$ düğümler?

Gambin ve Malinkowski'nin Teorem 1'i, Rastgele Eritilebilir Öncelik Kuyrukları (SOFSEM 1998, Bildiriler, Bilgisayar Biliminde Ders Notları cilt 1521, s. 344-349, 1998; PDF ) bu sorunun cevabını kanıtla vermektedir. Ancak, neden yazabileceğimizi anlamıyorum:

$$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$$

Benim için ağacın yüksekliği

$$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$$

hangi genişletebilirsiniz:

$$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$$

İki alt ağacın maksimum yüksekliğinin eşit olma olasılığı, toplam olasılık yasası kullanılarak yeniden yazılabilir:$k$

$$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$$

Sonunda şunu elde ederim:

$$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$$

Burada sıkışıp kaldım. O görebilir daha fazla veya daha az eşit olan (Ancak en çok ihtiyaç ) . Ama bunun dışında en başından beri formüle giden hiçbir şey yok.$\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$$\frac{1}{2}$$\leq \frac{1}{2}$

Alt ağaçların yükseklikleri benim için bağımsız görünmüyor.

Yardım için teşekkürler.

Bu makalede, yükseklik değil. Tam bir ikili ağaçtaki kökten rastgele bir yürüyüşün uzunluğu (her yaprağın "sıfır" olduğu konusunda ısrar ediyorlar), bu yüzden sahip oldukları ifade doğru şey.$h_Q$

Ayrıca, indüksiyondan kaçınabilirsiniz. Belirli bir derinlik tabakasında bitirme olasılığı sadece . Yani yürüyüşün beklenen uzunluğu$d$$2^{-d}$

$$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$$

ki bir dağılım entropisi.$|\text{leaves}(Q)|$