“Minimal” sezgisel tip teorisi?

İnsanların tür kuramlarına yeni türler eklemeye devam etmelerine şaşırdım, ancak hiç kimse minimal bir teoriden bahsetmiyor gibi görünüyor (ya da bulamıyorum). Matatisyenlerin minimal şeyleri sevdiğini düşündüm, değil mi?

Doğru anlıyorsam Prop, öngörücü bir tip teoride , λ-soyutlama ve Π-tipler yeterlidir. Yeterli diyerek sezgisel mantık olarak kullanılabilir. Diğer tipler aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

$$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\ $$

İlk sorum, gerçekten yeterli mi ( λ, Π)? İkinci sorum şudur Prop: MLTT gibi bir öngörücümüz yoksa , asgari olarak neye ihtiyacımız var ? MLTT'de Church / Scott / herhangi bir kodlama çalışmaz.

Düzenle: ilgili

Gallaların açıklamaları üzerinde durmak için, öngörülü Pervane ve bağımlı türlere sahip bir tür teorisi, tipik olarak Kilise'nin tür teorisine yakın olan, inşaat hesabının bazı alt sistemi olarak görülebilir . Kilise'nin tip teorisi ve CoC arasındaki ilişki o kadar basit değil, özellikle Geuvers'ın mükemmel makalesi tarafından araştırıldı .

Bununla birlikte, çoğu amaç için, sistemler eşdeğer olarak görülebilir. O zaman gerçekten çok az şeyle başa çıkabilirsiniz, özellikle klasik mantıkla ilgilenmiyorsanız, gerçekten ihtiyacınız olan tek şey sonsuzluğun bir aksiyomudur : CoC'de herhangi bir türün 1'den fazla unsura sahip olduğu kanıtlanamaz! Ancak sadece bir türün sonsuz olduğunu ifade eden bir aksiyom ile, indüksiyon ilkesi ve aksiyomu ile doğal bir sayı türü söyleyin, oldukça uzağa gidebilirsiniz: lisans matematiğinin çoğu bu sistemde resmileştirilebilir (bir çeşit, hariç tutulan orta olmadan bazı şeyler yapmak zor).$0\neq 1$

Etkileyici Prop olmadan biraz daha fazla çalışmaya ihtiyacınız var. Yorumlarda belirtildiği gibi, bir genişleme sistemi (eşitlik ilişkisinde işlevsel uzantısallığa sahip bir sistem) sadece ve -types, , boş ve birim tipleri ve , ve W tipleri. Bu mümkün olmayan kapsamlı ortamda: daha fazla endüktife ihtiyacınız var. Yararlı W türleri oluşturmak için üzerinden eleme yaparak türler oluşturabilmeniz gerektiğini :$\Sigma$$\Pi$$\mathrm{Bool}$$\bot$$\top$$\mathrm{Bool}$

$$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$$

Meta-matematik yapmak için muhtemelen en az bir evrene ihtiyacınız olacaktır (örneğin, bir Heyting Aritmetik modeli oluşturmak için).

Bütün bunlar çok fazla gibi görünüyor ve CoC'nin çılgınca emsalsizliğine sahip olmayan, ancak birkaç kuralda yazılması nispeten kolay olan daha basit bir sistem aramak cazip geliyor. Son zamanlarda yapılan bir girişim Altenkirch ve ark . Tarafından tanımlanan sistemidir . Tutarlılık için gerekli olan pozitiflik kontrolü sistemin "olduğu gibi" bir parçası olmadığı için bu tamamen tatmin edici değildir. Meta-teorinin de yine de dışlanması gerekiyor.$\Pi\Sigma$

Yararlı bir genel bakış makalesi ZF bir hack mi? tüm bu sistemlerde (kural ve aksiyom sayısı) sabit sayıları karşılaştıran Freek Wiedijk tarafından.

Kilise kodlamaları ile ilgili sorun , türleriniz için indüksiyon ilkelerini elde edememenizdir , yani bunlar hakkında ifadeleri kanıtlamak söz konusu olduğunda neredeyse işe yaramazlar.

Sistemin minimalliği açısından, yorumlarda bahsedilen yollardan biri kapları ve (W / M) tiplerini kullanmaktır, ancak bunlar oldukça geniştir , bu nedenle Coq veya Agda gibi sistemlerde çalışmak gerçekten uygun değildir.

$\Pi$$\Sigma$$\mu$$\nu$

$\mu$$\nu$