Polinomlarla ilgili bir problemin karar verilebilirliği

11

Aşağıdaki ilginç sorunla karşılaştım: gerçek sayılar alanı üzerinde polinomlar olsun ve katsayılarının tamsayı olduğunu varsayalım (yani, bu polinomların sınırlı bir temsili var). Gerekirse, her iki polinom derecesinin eşit olduğunu varsayabiliriz. Polinom (sırasıyla ) bazı (gerçek veya karmaşık) kökünün en büyük mutlak değerini ( sırasıyla ) ile gösterelim . mülkü karar verilebilir mi? $p,q$ $x_p$ $x_q$ $p$ $q$ $x_p = x_q$

Değilse, bu özellik bazı sınırlı polinom aileleri için geçerli midir? Bu sorunun ortaya çıktığı bağlamda, polinomlar matrislerin karakteristik polinomları ve kökleri özdeğerlerdir.

Polinomların / özdeğerlerin köklerini hesaplamak için bazı sayısal algoritmaların farkındayım, ancak bu algoritmaların çıktısı sadece yaklaşık olduğundan, bunların burada bir faydası yok gibi görünüyor. Bana öyle geliyor ki bilgisayar cebiri burada yararlı olabilir, ancak maalesef bu alanda neredeyse hiç bilgim yok.

Bu soruna ayrıntılı bir çözüm aramıyorum, ancak çözümü aramak için herhangi bir sezgi ve fikir yardımcı olacaktır.

Şimdiden teşekkür ederim.

computability undecidability computer-algebra

— 042
kaynak

(x - x_{0}) (x - x_{1}) \dots

$(x-x_0)(x-x_1)\dots$

Q

$\mathbb{Q}$

5

Ben de bu konuda bilgili değilim, ama bence yapıcı olmayan bir cevap verebilirim.

$2 (\deg P + \deg Q)$ $x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

\begin{align*}  P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\  Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\  x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\  x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\  x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\\end{align*}

$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for $1 \le j \le \deg P$} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for $1 \le k \le \deg Q$} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for $2 \le j \le \deg P$} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for $2 \le k \le \deg Q$} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$

$x_j+i\,y_j$ $x'_k+i\,y'_k$ $x_1+i\,y_1$ $x'_1+i\,y'_1$

Bu sistemin tatmin edilip edilemeyeceğine karar verilebilir: probleminiz karar verilebilir. Ancak, bu ifade muhtemelen en etkili yol değildir.

Daha faydalı bir cevap muhtemelen Gröbner üsleri teorisini içerir . Bu sorunu kendiniz çözmeye çalışıyorsanız, herhangi bir hesaplama cebir kitabının ilk birkaç bölümünü okumak size gerekli arka planı verecektir. Sadece altta yatan probleminizi çözmeyi hedefliyorsanız, muhtemelen uygulayabileceğiniz hazır bir algoritma vardır.

— Gilles 'SO- şeytan olmayı bırak'
kaynak

1

Bu konuda yanlış olabilirim: Bu alanda da çok bilgili değilim (uzmanlar nerede !?), ancak sorduğunuz şey için oldukça hızlı bir algoritmaya sahip olduğuma inanıyorum.

$P$ $I$ $x_P\in I$ $x_P'\notin I$ $P$ $R$ $P$ $Q$ $R$ $I$

$R$ $P$ $Q$ $I$ $x_P$ $Q$

Bu sadece bir taslak, ancak bunu iyi niyetli bir algoritmaya dönüştürmek çok fazla zaman almıyor , aslında Maple veya Mathematica kullanımının bu kadar önemsiz hale geleceğinden şüpheleniyorum.

— cody
kaynak