Beta denkliği nedir?

Şu anda lambda hesabı üzerinde okuduğum senaryoda beta eşdeğerliği şu şekilde tanımlanıyor:

$\beta$ -denklik $\equiv_\beta$ içeren en küçük denklik olduğunu $\rightarrow_\beta$ .

Bunun ne anlama geldiği hakkında hiçbir fikrim yok. Birisi daha basit bir şekilde açıklayabilir mi? Belki bir örnekle?

Kilise-Russer teoreminden sonra bir lemmaya ihtiyacım var,

$\equiv_\beta$↠ $\twoheadrightarrow_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$

terimler arasında tek-aşamalı bir ilişkidir λ -calculus. Bu ilişki ne refleksif, simetrik ne de geçişlidir. Eşdeğerlik ilişkisi ≡ β , → the'nın dönüşlü, simetrik, geçişli kapanmasıdır. Bu şu anlama gelir$\to_\beta$$\lambda$$\equiv_\beta$$\to_\beta$

1. Eğer ardından M ≡ β M ' .$M\to_\beta M'$$M\equiv_\beta M'$
2. Tüm terimler için , M ≡ β M tutar.$M$$M\equiv_\beta M$
3. Eğer , daha sonra E ' ≡ β M .$M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M$
4. Eğer ve M ' ≡ β M " , daha sonra M ≡ β M " .$M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M''$$M\equiv_\beta M''$
5. koşulları 1-4 tatmin küçük ilişkidir.$\equiv_\beta$

Daha yapıcı olarak, önce kural 1 ve 2'yi uygulayın, ardından ilişkiye hiçbir yeni öğe eklenene kadar kural ve 4'ü tekrarlayın .$3$$4$

Gerçekten temel set kuramıdır. Dönüşlü ilişkinin, simetrik ilişkinin ve geçişli ilişkinin ne olduğunu biliyorsunuz, değil mi? Eşdeğerlik ilişkisi, bu özelliklerin üçünü de karşılayan ilişkidir.

Muhtemelen bir ilişki içinde "Geçişli kapatılması" duymuş ? Şey, R'yi içeren en az geçişli ilişkiden başka bir şey değildir . "Kapanış" terimi budur. Benzer şekilde, bir ilişki içinde "simetrik kapatılması" hakkında konuşabilirsiniz Ar , bir ilişki içinde "dönüşlü kapatma" Ar ve ilişki içinde "denklik kapatma" R tamamen aynı şekilde.$R$$R$$R$$R$$R$

Bazı düşünce ile, kendinizi ikna edebilir geçişli kapanması o ise R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ ... . Simetrik kapatma R ∪ R - 1'dir . Dönüşlü kapaktır R ∪ I (burada bir kimlik ilişkidir). $R$$R \cup R^2 \cup R^3 \cup \ldots$$R \cup R^{-1}$$R \cup I$$I$

Biz notasyonu kullanmak için ben ∪ R ∪ R 2 ∪ ... . Bu dönüşlü geçişli kapanma arasında R . Eğer Şimdi ihbar R simetriktir, ilişkilerin her ben , R , R 2 , R 3 , ... simetriktir. Dolayısıyla R ∗ simetrik de olacaktır.$R^*$$I \cup R \cup R^2 \cup \ldots$$R$$R$$I$$R$$R^2$$R^3$$R^*$

Eşdeğerlilik kapatma Yani onun simetrik kapatılması, yani geçişli bir kapaktır ( R ∪ R ' - 1 ) * . Bu, bazıları ileri adımlar ( R ) ve bazı geri adımlar ( R - 1 ) olan bir dizi aşamayı temsil eder .$R$$(R \cup R^{-1})^*$$R$$R^{-1}$

İlişki denklik kapama bileşik ilişkisi ile aynı ise Church-Rosser özelliğine sahip olduğu söylenir R * ( R ' - 1 ) * . Bu, tüm ileri adımların önce geldiği bir adım dizisini ve ardından tüm geri adımları izler. Bu nedenle, Church-Rosser özelliği, ileri ve geri adımların herhangi bir serpiştirilmesinin, ilk ve geri adımlar daha sonra ileri adımlar atılarak eşzamanlı olarak gerçekleştirilebileceğini söylüyor.$R$$R^* (R^{-1})^*$