Basit çokgenlerin benzersiz nirengi çiftleri

Basit bir çokgen bir üçgenleme (Steiner noktaları olmadan) göz önüne alındığında , bu üçgenlemenin ikili şekli aşağıdaki gibi tanımlanabilir. Üçgenselleştirmedeki her üçgen için bir tepe noktası oluştururuz ve karşılık gelen üçgenler bir kenarı paylaşırsa iki köşeyi birbirine bağlarız. İkili grafiğin, maksimum derece üç olan bir ağaç olduğu bilinmektedir.$P$

Başvurum için aşağıdakilerle ilgileniyorum. Bir ağaç Verilen maksimum derecede üç ile basit bir çokgen her zaman vardır ait (Steiner noktaları olmadan) her nirengi ikili şekilde eşittir . Burada, üçgenlenmesi benzersiz olmayabilir, ancak ikili grafiğin benzersiz olmasını istiyorum.$T$$P$$P$$T$$P$

Bu, bir yol olduğunda kesinlikle doğrudur , ancak üç derece köşelere sahip olduğunuzda netleşmez.$T$

Bir ağaç Verilen maksimum derecede üç ile basit bir çokgen her zaman vardır her nirengi ikili arasında (Steiner noktaları olmadan) olacak şekilde eşittir ?$T$$P$$P$$T$

Evet. Bunu göstermek için, görünüşte biraz daha güçlü sonuç almak için bir prosedür vereceğim *:

Bir ağaç verilen maksimum derecede üç ile, basit bir çokgen oluşturmak , öyle ki tek nirengi ait sahiptir (Steiner olmayan noktası) onun çift olarak.$T$$P$$P$$T$

Bir ilk üçgen oluşturarak başlayın bazı köşe temsil içinde ve ekleme sıra için . Ardından, boşalana kadar aşağıdakileri tekrarlayın :$\Delta_0$$v_0$$T$$v_0$$Q$$Q$

• Üst öğeyi ( kuyruktan açın.$v$
• Her bir komşu köşe için henüz bir üçgen yerleştirilmiş ancak henüz bu, bir yandan tercih üçgenin ve nokta yoluyla hattı ile oluşturulan konik bölgelerin içinde ve komşu segmentler, bu şekilde üçgen diğer üçgenlerle kesişmez. Takım (aşağıdaki şekle bakınız) ekleyin için .$w$$AB$$\Delta_v$$D$$AB$$\Delta ABD$$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$$w$$Q$

Bu görüntü , verilen (sağ) için olası bir çokgen (sol) örneğini verir$P$$T$

Bu yordamın neden işe yaradığını görmek için, önce yeni bir üçgen oluşturduktan sonra ve segmentlerinin , mevcut üçgenlerle kesişmeyen boş olmayan bir bölgeye sahip bir koni oluşturduğunu unutmayın (ayrıca önceki şekle bakın). her adımda uygun bir nokta ve bir çokgen oluşturun.$AB$$AD$

İkincisi, arasındaki çizgi dilimi içinde tamamen yer almayacak şekilde üçgenleri seçtik . Zaten yerleştirilmiş üçgenlerden bir köşe noktası varsa , tamamen , ve tarafından oluşturulan konilerin içinde yer almalıdır . Bununla birlikte, bu koninin içinde yer almayan kısmı , daha önce yerleştirilmiş üçgen tarafından üretilen konide bulunduğundan, böyle bir$CD$$P$$Q \notin \{B,D\}$$DQ$$P$$AD$$BD$$\Delta ABD$$Q$ancak daha önce yerleştirilmiş üçgen için benzer bir nokta varsa vardır. İlk üçgen için böyle bir nokta olmadığından, eklediğimiz herhangi bir üçgen için böyle bir nokta olmadığı anlamına gelir.

Bu segmentinin içinde tamamen bulunduğu herhangi bir köşe noktasının tüm çiftlerinin zaten yapılandırılmış üçgenleme içinde olduğu anlamına gelir, bu nedenle üçgenleme için benzersizdir (tüm üçgenlemeler aynı sayıda dahili segment ekler )$(X,Y)$$P$$XY$$P$$P$

Bu yöntemde inşa edilen çokgenlerin oldukça keskin açılara sahip olma eğiliminde olduklarını unutmayın. Ben keyfi büyük grafikler keyfi küçük açıları olan çokgenler gerektirir, bu çokgenleri son derece hassas bir şekilde çizerken bir sorun olabilir.

_{*: Fark şu ki, eğer 'eşsiz' izomorfizme kadar (eğer üçgenleme ve ikilemlerin farklılığı ile tutarlı) olarak yorumlanırsak, hepsinin izomorfik ikililere sahip çoklu üçgenlemelere sahip bir çokgen ile iyi oluruz. Bununla birlikte, bazı duallerin artık izomorfik olmadığından emin olmak için bu çokgenlere daha fazla üçgen eklemek mümkündür.}