Presburger aritmetiğinin iki kat üstel karmaşıklığının kanıtında kullanılan hile

Bunu MathUnderflow'a gönderdim, ancak cevap alamadım, bu yüzden burada deneyeceğim diye düşündüm,

Rabin ve Fischer'ın eski makalesini okuyorum [mümkünse bir bağlantı yayınlayacak], diğer şeylerin yanı sıra Presburger aritmetiğinin iki kat üstel karmaşıklığı kanıtlandı.

Kanıt , ile gayri resmi olarak " " iddiasında bulunan formülünün varlığına dayanmaktadır. . Bu formülün yapısı makalede verilmemiş olsa da, bu bağlı ve sadece elimizde ek var olması göz önüne alındığında, muhtemelen son derece önemsiz olduğu düşünüldüğünde benim için sürpriz oldu!$I_{n}(x)$$x < 2^{2^{kx+1}}$$|I_{n}| \in O(n)$

Daha sonra bu formülün yapısının daha önce Fischer tarafından ve bağımsız olarak Volker Strassen tarafından keşfedilen bir "numaraya" dayandığını öğrendim, ancak bu numarayı ayrıntılı olarak açıklayan bir makaleyi izlemeyi başaramadım!

Yani eğer biri hakkında konuştuğum kağıdı biliyorsa ve beni onun yönüne işaret edebilir, hatta hileyi bana tarif edebilirse ...

Lipton'un blogundaki bu yazı , makalenin yanı sıra bahsettiğimiz bir bağlantı içeriyor [ve kaba, maalesef benim için yetersiz, eskiz] BTW dedi.

This Bunun belirsiz bir açıklama olduğunu biliyorum. Yine de, yeterince ayrıntılı bir açıklama bir SX postası için çok uzun olurdu, bu yüzden umarım söz konusu kağıdı zaten bilen ve böylece bu kısa taslakla ilgilenebilen bir kişinin bu konuda çarptığını ve bana yardımcı olabileceğini umuyorum. .

Martin'in yorumu (ve Yuval'ın takibi), yapıyı biraz ayrıntılı olarak açıklayan referansı verir.

Biraz ayrıntılı olacağım çünkü bunun muhteşem bir kanıt olduğunu düşünüyorum: temelde PA'nın kararsızlığının "toplama" ve aritmetik ile aritmetik), ancak için göreceli hale$2^{2^{c\cdot n}}$ getirildi ! Bu o numaraya çarpma kadar ifade eden bir (kısa) formül, olup, diğer bir deyişle, formül bu şekilde $M_n(x,y,z)$

$$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$$

Şimdi üzerinde indüksiyonla, ikili sayıları veya matris çarpımı için belirli hileleri çoğaltmak için Karatsuba algoritmasını hatırlatan önemli bir numara ile inşa :$M_n$$n$

İçin tanımında form bir bağlantılı ile sona $M_{n+1}(x,y,z)$

$$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$$

Ancak bunu

$$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$$

Bu hile, üstel olandan ziyade ( bir fonksiyonu olarak ) doğrusal bir boyut artışına izin verir .$n$

Başka birkaç püf noktası var, ama ana olan bu. Özyinelemenin içleri elbette önemlidir, ancak Karatsuba hilesine benzerlik gerçekten oldukça çarpıcıdır.