Aşağıdaki sorunu SAT değerine azaltın

İşte sorun. Verilen , nerede her T i ⊆ { 1 , ... , n } . Bir alt kümesi var mı S ⊆ { 1 , ... , n } en fazla boyutu ile k öyle ki herkes için ? Bu sorunu SAT'a azaltmaya çalışıyorum. Bir çözüm 1'den her biri için değişkeni olacaktır . Her biri için$k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$i x i , n , T i , bir madde oluşturmak ( x i 1 ∨ ⋯ ∨ x i k ) ise T ı = { i 1 , … , i k$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$. Sonra ve tüm bu maddeler birlikte. Ancak bu açıkça en fazla k elementine sahip olması gereken kısıtlamayı temsil etmediğinden tam bir çözüm değildir . Daha fazla değişken oluşturmam gerektiğini biliyorum, ama nasıl yapılacağından emin değilim. İki sorum var:$S$$k$

1. Çözüm fikrim doğru yolda mı?
2. Yeni değişkenler, kardinalite kısıtlamasını temsil etmek için kullanılabilecek şekilde nasıl oluşturulmalıdır ?$k$

Görünüşe göre k büyüklüğünde bir enine köprü hesaplamaya çalışıyorsunuz . Yani, { T 1 , … , T m } senin hipergrafın ve S senin enine. Standart bir çeviri, yan tümceleri istediğiniz gibi ifade etmek ve sonra uzunluk kısıtlamasını bir kardinalite kısıtlamasına çevirmektir.$k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$

Bu nedenle, mevcut kodlamanızı kullanın, yani ve ardından ∑ 1 ≤ i ≤ n x i ≤ k kodlayan maddeler ekleyin .$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

, bir kardinalite kısıtlamasıdır. SAT'a çeşitli farklı kardinalite kısıtlama çevirileri vardır.$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

En basit ama oldukça büyük kardinalite kısıtlaması çevirisi sadece . Bu şekilde her bir ayrılma , { 1 , … , n } ' nin tüm X alt kümeleri için ¬ ⋀ i ∈ X x i kısıtlamasını temsil eder.$\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$k + 1 boyutunda. Yani, k'dan fazla değişkenin ayarlanabilmesinin hiçbir yolu olmadığından emin oluruz. Bunun k cinsinden polinom boyutu olmadığını unutmayın$k$

K cinsinden polinom boyutu olan$k$ daha az yer kaplayan kardinalite kısıtlama çevirileri ile ilgili bazı bağlantılar :

• Sahte Boole Kısıtlamalarının SAT - Niklas Eén ve Niklas Sörensson'a çevrilmesi, JSAT cilt 2 (2006), sayfa 1-26 (iyi bir anket).
• Boolean kardinalite kısıtlamalarının etkin CNF kodlaması - Olivier Bailleux ve Yacine Boufkhad, İlkelerin Bildirimi ve Kısıt Programlama Uygulaması 2003, LNCS cilt 2833, s. 108-122 (güzel, uygulanması oldukça kolay bir çeviri).
• Boolean Kardinalite Kısıtlarının Optimal CNF Kodlamasına Doğru - Carsten Sinz - Kısıt Programlama İlkeleri ve Uygulamalarına İlişkin 2005, LNCS 3709, sf 827-831.
• Güçlü CNF Kardinalite Kısıtlamaları Kodlamalarına Doğru - Joao Marques-Silva ve Inês Lynce, Kısıt Programlamanın İlkeleri ve Uygulama 2007, LNCS 4741, s. 483-497.

Aslında bu tür problemleri çözmekle ilgileniyorsanız, belki de bunları sahte-boole problemleri olarak formüle etmek (sahte-boolean problemler hakkındaki wiki makalesine bakın ) ve sahte-boolean çözücüler kullanın (bkz. Sahte-boolean rekabet ). Bu şekilde kardinalite kısıtlamaları sadece sahte-boole kısıtlamalarıdır ve dilin bir parçasıdır - umarım sahte-boolean çözücü bunları doğrudan ve dolayısıyla daha verimli bir şekilde ele alır.

$k$

$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

Açık bir azalma aradığınızı varsayıyorum, ancak değilse, her zaman Cook-Levin Teoremine .