Bitişiklik matrislerinin polinomlarını inceleyerek grafik izomorfizme naif bir yaklaşım hakkında literatür

Muhtemelen yanlış pozitifleri olan grafik izomorfizme bir yaklaşımı tarif ediyorum ve işe yaramadığını gösteren literatür olup olmadığını merak ediyorum.

Verilen iki bitişiklik matrisler , izomorfik denetlenmesine yönelik bir kuşkusuz naif yöntem, her satır için kontrol etmektir arasında , bir sıra vardır arasında sırasının bir permütasyon olan ile gösterilen, . Biraz daha katı olan soru, için bir "yerel izomorfizm" $G, H$ $u$ $G$ $v$ $G$ $u$ $G[u] \sim H[v]$ $\pi$ $G[u] \sim H[\pi(u)]$ tüm satırlar için. Lokal bir izomorfizma üretmek, polinom zamanda ile bir matrisi yapılarak yapılabilir ; o zaman ve lokal olarak izomorfiktir iff bir döngü kapağı vardır ve her döngü kapağı bir yerel izomorfizmdir. $n\times n$ $A$ $A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$ $G$ $H$ $A$

$G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$ $A[u,v] = 0$ $G^k[u]\not\sim H^k[v]$ ve döngü kapağının yalnızca sonunda kontrol edilmesi. Daha da az saf yaklaşım ayar gerçekten polinom bir dizi, aritmetik birimi, bir dizi ve bulmaktır , biz bulduğunda bir polinom ile . $A[u,v]=0$ $p$ $p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

Bu bana izomorfizmi çizmek için inanılmaz derecede naif bir yaklaşım gibi görünüyor, bu yüzden eminim ki birisi zaten araştırmış ve böyle bir teoremi kanıtlamıştır.

THM için sonsuz sayıda nonisomorphic vardır matrisler ve bir permütasyon gibi her polinom için bu , ve bu permütasyon ile lokal olarak izomorfik: . $n$ $n\times n$ $G, H$ $\pi$ $p$ $p(G)$ $p(H)$ $p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$

Soru: Böyle bir teorem var mı? Literatüre baktım ve bulamıyorum.

Derecesine sahip bulunmaktadır ilişkili ise olarak polinom her iki nonisomorphic matrisler için, yerel izomorfizm hesaplanmasıyla çürütülmektedir şekilde veya her biri polinom olarak sınırlanmış, ancak muhtemelen üstel bir dereceye sahip olan kolayca hesaplanabilen polinomları ailesi varsa , o zaman grafik izomorfizmi için bir P algoritmasına sahibiz . Bu tür polinomları (veya aritmetik devreleri) tahmin etmek kolaysa , bir coRP algoritmamız var. Lokal olmayan izomorfizme tanık olmak için her zaman bir (aritmetik devre) aritmetik devre varsa, bu bir coNP algoritması verir . $k$ $n$ $G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$ $p_1, \ldots ,p_k$

Yüksek güçlü matrislerin girişlerinin, polinomları küçük alanlar üzerinde hesaplayarak, örneğin bunları modulo küçük primerleri hesaplayarak çok büyüdüğü sorununu önleyebileceğimizi unutmayın. Bir coNP algoritmasında, prover bu primerleri sağlayabilir.

reference-request graph-isomorphism

— Lieuwe Vinkhuijzen
kaynak

Evet, az çok böyle bir teorem var. Temel olarak k-boyutlu Weisfeiler-Lehman prosedürünün, grafik izomorfizm testine yönelik bilinen tüm kombinatorik yaklaşımları başlattığını (yani domine ettiğini) belirtir. (Somut teklifiniz, yanılmıyorsam 2 boyutlu Weisfeiler-Lehman prosedürüne tabi tutulmalıdır.) Her sabit k için, Cai-Fürer olarak bilinen k boyutlu Weisfeiler-Lehman prosedürüne karşı bir sınıf sınıfı vardır. -İmmmerman inşaat.

Önce Weisfeiler-Lehman prosedürünün ve Cai-Fürer-Immmerman inşaatının temellerini

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

Weisfeiler-Lehman prosedürü hakkında burada tarif edilenden daha fazla şey öğrenilecek, ancak en azından Cai-Fürer-Immmerman inşaatının tedavisi tam ve amacınız için yeterli. " Weisfeiler-Lehman Prosedürü Vikraman Arvind tarafından" konuya bir davet olarak geliyordu son kısa kompozisyon olduğunu.

Belki de cevabımdan uzaklaşmak için en önemli nokta, k-boyutlu Weisfeiler-Lehman prosedürü tarafından kullanılmayan (yani, baskın olan) tamamen birleştirici bir izomorfizm test yöntemi (sorunuzda açıklandığı gibi) bulacağınızdır, bu, yöntemin gerçekten yararlı olup olmayacağından bağımsız olarak, kendi başına bir atılım olacaktır.

— Thomas Klimpel
kaynak