Mantıkta “Turing Complete” için ikili bir kavram var mı?

Her biri diğeri için evrensel bir simülatörü kodlayabilirse, iki bilgi işlem modelinin birlikte tamamlandığı gösterilebilir. Eğer her birinin çıkarım kurallarının (ve eğer varsa aksiyomların) bir kodlamasının diğerinin teoremleri olduğu gösteriliyorsa, iki mantığın birlikte tamamlandığı gösterilebilir. Hesaplanabilirlik açısından bu, Turing bütünlüğü ve Kilise Turing Tezi hakkında doğal bir fikre yol açmıştır. Bununla birlikte, mantıksal ortak bütünlüklerin, benzer kalitede toplam bütünlük konusunda doğal olarak indüklenen herhangi bir fikre yol açtığını görmedim.

Olasılık ve Hesaplanabilirlik çok yakından ilişkili olduğundan, mantıkta Turing Completeness için doğal bir ikili olan bir kavram olabileceğini düşünmek çok fazla bir şey olmadığını düşünüyorum. Spekülatif olarak, şöyle bir şey var: Eğer sadece bir hesaplama modeli tarafından açıklanamayan hesaplanabilir bir fonksiyon varsa ve bir mantıkta kanıtlanamayan "gerçek" bir teorem vardır. Benim sorum şu, kimse bunu inceledi mi? Bir referans veya bazı anahtar kelimeler yardımcı olabilir.

Önceki paragrafta yer alan "doğru" ve "hesaplanabilir" ifadesiyle sezgisel ancak sonuç olarak tanımlanamayan fikirlerden bahsediyorum. Örneğin, birisi Goodstein dizilerinin sonluluğunun "gerçek" olduğunu ancak "gerçek" kavramını tam olarak tanımlamaksızın Peano aritmetiğinde kanıtlanamayacağını gösterebilir. Benzer şekilde, köşegenleştirme yoluyla, hesaplanabilir kavramını tam olarak tanımlamaksızın, ilkel özyinelemeli olmayan hesaplanabilir fonksiyonların olduğu gösterilebilir. Nihayetinde ampirik kavramlar olma eğiliminde olmalarına rağmen, belki de kavramların birbiriyle bütünlük kavramlarını ilişkilendirecek kadar iyi ilişkilendirilebileceğini merak ediyordum.

Ne olmasını birinci dereceden formülü için ne anlama için kesin tanım olmadığı için, sonuçta tanımlanamayan "gerçek" demek neden emin değilim doğrudur .

Hesaplanabilirlik durumunda benzersiz olan şey, bir "hesaplama modeli" için herhangi bir tanım için (hayalleriniz kadar vahşi), nihayet bir dizi işlevle (hesaplayabileceği işlevler) ilişkilendirebilirsiniz. Böylece, farklı modelleri doğal olarak karşılaştırabilirsiniz ve birini düzelttikten sonra ("gerçek dünyada hesaplamanın iyi bir temsilidir" gibi bazı ampirik gerekçelere dayanarak), tam olarak aynı kümeyi hesaplarsa, başka herhangi bir modeli tamamlayabilirsiniz. fonksiyonlar.

Ancak, farklı mantıkları nasıl karşılaştırıyorsunuz? Görünüşe göre, keyfi bir mantığa ekleyebileceğiniz ve onu diğer sistemlerle karşılaştırmak için kullanabileceğiniz hiçbir doğal özellik yoktur. Belki de mantığı düzeltebilirsiniz, örneğin birinci dereceden yüklem mantığı ve aksiyomatik bir sistemin bütünlüğünü sorabilirsiniz. ZFC'de çalıştığınızı ve bunun dünyayı temsil eden doğal aksiyomlardan oluştuğunu düşünün. Şimdi, farklı bir aksiyomatik sistem verildiğinde, aynı teoriye sahip olup olmadıklarını sorabilir ve cevabın evet olması durumunda bu sistemi tamamlayabilirsiniz. Hesaplanabilirlik durumundan farkı, hesaplanabilirlik için, "temel model" in ne olması gerektiği konusunda daha güçlü bir fikir birliği olduğudur. Bu fikir birliğinin nedeni, birçok bağımsız hesaplama modelinin daha sonra eşdeğer olduğu gösterilmiş olması,