Bir ikili ağaç kanıtlanması en fazla sahip

Ben ispat etmeye çalışıyorum ikili ağaç ile düğümler en fazla sahip $n$ yaprak. Bunu tümevarım ile nasıl yapabilirim? $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Yığınlar hakkındaki orijinal soruyu takip eden insanlar için buraya taşındı .

— varatis
kaynak

İlk olarak, burada LaTeX'i kullanabileceğimizi unutmayın. Nasıl yaptığımı görmek için "düzenle" yi tıklayın. İkincisi, bir indüksiyon görmüyorum. Oraya bazı sayılar atıyorsunuz ama kanıt yapısı ve yığınlarla hiçbir ilişkisi yok. Geliştirebilir misin? Ve son olarak, iddia yanlış: sıralı bir liste heap özelliğini yerine getirir ve sadece bir yaprağa sahiptir. Bazı varsayımlar bıraktınız mı?

— Raphael

@ Kaveh aklınızdakileri düzenliyor mu, yani "en fazla" mı?

— Raphael

@ Raphael, soruyu tekrar okurken, her iç düğümün tam olarak iki çocuğu olduğu yığınlar hakkında olabileceğini düşünüyorum (bu durumda orijinal soru mantıklı ve iddia doğru veya benzer bir şey).

— Kaveh

@Kaveh Ah evet, karışıklığınızı görüyorum. Yığın düğümlerinin en fazla iki çocuğu vardır (dolayısıyla ikili ağaç etiketi)

— varatis

Anlıyorum. Kesin olarak formüle edilen istemle, gerçekten başka varsayımlara gerek yoktur. Özellik aslında tüm ikili ağaçlar için geçerlidir.

— Raphael

Yanıtlar:

Şimdi sorunun şu olduğunu varsayıyorum:

İle ikili ağaç Verilen düğümler, en az içerdiğini kanıtlamak $n$ yaprak. $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Bizim ağaç tanımı çalışma izin . İçin gibi bir ağaç, izin düğümlerin sayısı ve $\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$ $T$ $n_T$ $T$ $l_T$ yaprak sayısı . $T$

Bunu indüksiyonla yapmak doğrudur, ancak ağaç yapısını takip eden yapısal indüksiyona ihtiyacınız olacaktır . Ağaçlar için, bu genellikle ağaçların yüksekliği üzerinde tam bir indüksiyon olarak yapılır . $h(T)$

İndüksiyon çapasının iki kısmı vardır. İlk olarak, için Elimizdeki ile ; iddia açıkça boş ağaç için geçerlidir. İçin , yani , biz Benzer sahip $h(t)=0$ $T=\mathrm{Empty}$ $l_T=n_T=0$ $h(t)=1$ $T = \mathrm{Leaf}$ , yani talep yaprakları için de geçerlidir. $l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

Tümevarım hipotezi: Talebin ile tüm (ikili) ağaçları için geçerli olduğunu varsayalım , $T$ $h(T)\leq k$ rasgele ancak sabit. $k\geq 1$

Endüktif aşama, bir isteğe bağlı ikili ağaç dikkate ile . Olarak , ve . Olarak ve ikili ağaçlar (aksi da olmaz) ve $T$ $h(T)=k+1$ $k\geq 1$ $T=\mathrm{Node}(L,R)$ $n_T = n_L+ n_R+1$ $L$ $R$ $T$ , tümevarım hipotezi uygulanır ve $h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

Her yaprak olarak ya olan ya da , o var $T$ $L$ $R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

İle işaretlenmiş eşitsizlik olup üzerinde (dört yol) durumda ayrım tarafından kontrol edilebilir $(*)$ $n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$ . Tümevarım gücüyle, bu kanıtı sonuçlandırır.

Bir alıştırma olarak, aynı tekniği aşağıdaki ifadeleri kanıtlamak için kullanabilirsiniz:

Yükseklik Her mükemmel ikili ağaç sahiptir düğümleri. $h$ $2^h-1$
Her tam ikili ağacın tek sayıda düğümü vardır.

— Raphael
kaynak

$3$ $n=2$ $n=2$ $n/2 = 1$ . Her neyse, kolay bir argüman olan yakın bir şey.

$T$ $n$ $L$ $T$ $n-1$

2 n - 2 \leq L + 3 (n - L)

$2n - 2 \le L + 3(n - L)$

2 L \leq n + 2

$2L\le n + 2$

n \geq 3

$n\ge 3$

2 L \leq n + 1

$2L \le n + 1$

— Louis
kaynak

Sanırım burada sessizce köklü ağaçlar var; Wikipedia da öyle.

— Raphael

Vikipedi türden bir şey şöyle diyor: "Ağacın dışında genellikle" kök "düğümüne (varsa tüm düğümlerin atası) bir referans vardır." Her neyse, bu argüman yazmaya değer gibi görünüyor, çünkü farklı ve oldukça kolay.

— Louis

Eğer okursanız, tüm kenarlar yönlendirilir, onlar "çocuklar" ve "ebeveynler" den bahsediyorlar. Köklenmemiş ağaçlarda bu mantıklı değil. Sonuç olarak, bir yaprak 0'dan büyük bir düğüm olacaktır.

— Raphael