Hesaplanamayan sayılabilir kümeler var mı?

Bir küme, doğal sayılarla bir birleşimi varsa sayılabilir ve üyelerini numaralandıran bir algoritma varsa , hesaplanabilir şekilde (ce) sayılabilir .

Sayısal olarak numaralandırılabilir herhangi bir küme sayılabilir olmalıdır, çünkü sayımdan bir bijeksiyon oluşturabiliriz.

Hesaplanabilir sayılamayacak sayılabilir set örnekleri var mı? Yani, bu set ile doğal sayılar arasında bir bijection vardır, ancak bu bijection'ı hesaplayabilecek bir algoritma yoktur.

computability semi-decidability

— Peter Olson
kaynak

Yeniden oluşturulan terminoloji hesaplanabilir şekilde numaralandırılabilir . Birçok kişi "sayılabilir" ve "numaralandırılabilir" kelimelerinin eş anlamlı olduğunu söyleyecektir. Soruyu buna göre düzenledim.

— Andrej Bauer

@AndrejBauer, computably ve özyinelemeli eş anlamlılar, değil mi?

— rus9384

@ rus9384 Evet. Kelime ile ilgili olarak, Robert Irving Soare, Turing-Post Göreli Hesaplanabilirlik ve Etkileşimli Hesaplama (2011) 'da yazdığı gibi, netlik hüküm sürmelidir : 1995'te karışıklık dayanılmaz hale geldi. Boğa için Hesaplanabilirlik ve Özyineleme hakkında bir makale yazdım. Sym. Mantık (1996) ve “hesaplanabilir” anlamına gelen “özyinelemeli” değil de “hesaplanabilir” kullanmamızın bilimsel nedenleri üzerine. “Özyinelemeli” Dedekind ve Hilbert için olduğu gibi “endüktif” anlamına gelmelidir. İlk başta, birkaç kişi böyle bir değişiklik yapmaya istekliydi ...

— David Tonhofer

Yanıtlar:

Numaralandırılamayan sayılabilir küme örnekleri var mı?

Evet. Doğal sayıların tüm alt kümeleri sayılabilir, ancak hepsi numaralandırılamaz. (Kanıt: sayılamayan birçok farklı alt kümesi vardır, ancak sayılabilecek sayılabilecek birçok sayılabilen Turing makinesi vardır.) Dolayısıyla, zaten bildiğiniz her alt kümesi yinelemeli olarak numaralandırılamaz. her girdi için durduran makineler. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$

— David Richerby
kaynak

@JorgePerez Hayır ve hayır .

— David Richerby

Bu varlığını kanıtlıyor, ancak bir örnek vermiyor ..

— BlueRaja - Danny Pflughoeft

@ BlueRaja-DannyPflughoeft, bir örnek vermek bir numaralandırma ile aynıdır. "Örnek veremeyeceğin bir şeye örnek verebilir misin? Hayır? Bu nedenle örnek veremeyeceğin hiçbir şey yok." Kısaca matematiksel yapılandırmacılık.

— Wildcard

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

N

$\mathbb{N}$

Σ

$\Sigma$

@Wildcard Hayır, örnek vermek bir tanesini tanımlamakla aynı şey, değil mi? Durdurulamayan tüm Turing makinelerinin seti gibi, tanımlanabilen ancak bir algoritma ile numaralandırılamayan setler vardır.

— Tanner Swett

Evet, her kararsız (yarı karar verilemez) dil bu özelliğe sahiptir.

$L = \{(x,M) \mid M \text{ does not halt on input } x \}$

$x,M$

$M$ $n$ $x$ $n$ $L$

$M$ $x$ $n$ $(M,x)$

Böylece bir indirgememiz var ve böyle bir numaralandırmanın olmadığı sonucuna varabiliriz.

$n$

— jmite
kaynak

Sayılamayan karmaşıklığa sahip diller yok mu?

— rus9384

@ rus9384 Ne demek istediğinden emin değilim. "Sayılamayan" bir boyut ölçüsüdür; "karmaşıklık" karar vermenin ne kadar zor olduğunun bir ölçüsüdür. Ancak, sonlu dizelerin sayılamayan dilleri yoktur: bir dilin sayılamaz olmasını istiyorsanız, sonsuz karakter dizilerine (veya sayılamayan bir “alfabe” ya da her ikisine) izin vermelisiniz.

— David Richerby

@DavidRicherby, peki, jmite her kararsız sorunun sonlu dizelerle çalıştığını iddia ediyor? Bence bu sadece Turing tarafından tanınabilir her kararsız sorun için geçerlidir.

— rus9384

@ rus9384 Sonlu alfabe üzerindeki herhangi bir dil sayılabilir ve hesaplanabilirlik genellikle sonsuz alfabeleri yok sayar. Ayrıca bu soruya bakın .

— jmite

@ rus9384 evet, bir dil sonlu bir alfabe üzerinde sonlu dizeler kümesidir. Böyle bir şey sayılabilir. Sayılamayan bir dil edinmek istiyorsanız, "sonlu" örneklerinden birini veya her ikisini bu tanımdan kaldırmanız gerekir. Ama eğer birisi sadece "dil" diyorsa, bunlar sonlu bir alfabe üzerinde sonlu dizeler anlamına gelir.

— David Richerby

$\Sigma^*$ $\Sigma = \{0,1\}$ $L \subseteq \Sigma^*$ $\Sigma^*$

— fade2black
kaynak

İkili dizelerle uğraşmak zorunda değiliz. Diğer alfabe dizeleriyle ilgilenebileceğimiz birçok durum vardır ve hesaplanabilirlik "özyineleme teorisi" olarak adlandırılan insanlar doğrudan doğal sayı kümeleriyle ilgilenme eğilimindedir. (Yani, sayıların kendileri ilkel olarak görülür ve örneğin ikili dizeler olarak kodlanmaz.)

— David Richerby

@DavidRicherby birkaç hafta önce Yuvals cevabının yorumlarında bana tam tersini iddia ettiniz. Ve bu ilk benzer durum değil.

— fade2black

Yuval çok cevap veriyor ve ben çok yorum yazıyorum, bu yüzden daha spesifik olmalısın. Kesinlikle yukarıdaki yorumumda duruyorum, bu yüzden bir noktada tersini söylersem, ya yanlış ya da karışıktım ya da beni yanlış anladınız ya da belirli bir senaryo ya da bunun gibi bir şeyden bahsediyordum. Sizi şaşırttıysam özür dilerim, özellikle de belirsiz ya da yanlış bir şey söyleyerek yaptıysam!

— David Richerby

@DavidRicherby, aslında her sonlu alfabe ikiliye indirgenebilir, bu yüzden bunun nasıl önemli olduğunu anlamıyorum. Yoksa bu durumda sayıca sonsuz alfabemiz var mı (her sayının kendine özgü sembolü olduğu)?

— rus9384

{0, 1}

$\{0,1\}$