Asimptotik büyümeye göre sıralama fonksiyonları

Örneğin, bir işlevler listesine sahip olduğumu varsayalım.

$\qquad n^{\log \log(n)}, 2^n, n!, n^3, n \ln n, \dots$

Bunları asimptotik olarak nasıl sıralayabilirim, yani;

$\qquad f \leq_O g \iff f \in O(g)$ ,

onlar (ayrıca bkz aslında İkili karşılaştırılabilir olduğunu varsayarak burada )? tanımını kullanmak $O$garip görünüyor ve uygun $c$ ve sabitlerinin varlığını ispatlamak genellikle zor $n_0$.

Bu karmaşıklık ölçütleriyle ilgilidir, bu yüzden gibi asimptotik davranışlarla ilgileniyoruz $n \to +\infty$ve tüm fonksiyonların yalnızca negatif olmayan değerler aldığını varsayıyoruz ( $\forall n, f(n) \ge 0$ ).

Sıkı bir kanıt istiyorsanız, aşağıdaki lemma çoğunlukla yararlıdır. tanımlardan daha kullanışlı.

$c = \lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{g(n)}$

• $c=0 \qquad \ \,\iff f \in o(g)$ ,
• $c \in (0,\infty) \iff f \in \Theta(g)$ ve
• $c=\infty \quad \ \ \ \iff f \in \omega(g)$ .

Bununla algoritma analizinde ortaya çıkan fonksiyonların çoğunu sipariş edebiliyor olmalısınız¹. Bir egzersiz olarak, kanıtlayın!

Tabii ki buna göre sınırları hesaplayabilmelisin. Karmaşık fonksiyonları temel fonksiyonlara indirgeyecek bazı pratik püf noktaları:

• Her iki işlevi de ve üstleri karşılaştırın; eğer oranları ya da ise, orijinal bölüm de öyle. 0 $e^{\dots}$$0$$\infty$

• Daha genel: Eğer sürekli türevlenebilir ve kesinlikle işlevi artan bir dışbükey, varsa gibi anahtar bölüm yeniden yazmak, böylece$h$

  $\qquad \displaystyle \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{h(f^*(n))}{h(g^*(n))}$ ,

  ile ve$g^* \in \Omega(1)$

  $\qquad \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{f^*(n)}{g^*(n)} = \infty$ ,

  sonra

  $\qquad \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = \infty$ .

  ^{Bu kuralın titiz bir kanıtı için buraya bakınız (Almanca).}

• Fonksiyonlarınızın gerçekler üzerinde devam ettiğini düşünün. Artık L'Hôpital'in kuralını kullanabilirsiniz ; koşullarına dikkat et²!

• Kesikli eşdeğer Stolz-Cesàro'ya bakın .

• Factorials açıldığında, Stirling'in formülünü kullanın :

  $\qquad \displaystyle n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

Ayrıca, bir kez kanıtladığınız ve sık kullandığınız temel ilişkilerden oluşan bir havuzda tutmak yararlıdır:

• logaritmalar polinomlardan daha yavaş büyür, yani

  α , β > $\qquad\displaystyle (\log n)^\alpha \in o(n^\beta)$ tümü için .$\alpha, \beta > 0$

• polinomların sırası:

  α<$\qquad\displaystyle n^\alpha \in o(n^\beta)$ tümü için .$\alpha < \beta$

• polinomları üstellere göre daha yavaş büyür:

  $\qquad\displaystyle n^\alpha \in o(c^n)$ hepsi ve .$\alpha$$c > 1$

---

Limit mevcut olmadığı için yukarıdaki lemmanın geçerli olmaması söz konusu olabilir (örneğin, fonksiyonlar salındığında). Bu durumda, Landau sınıflarının aşağıdaki gibi üst / alt limes kullanan karakterizasyonunu göz önünde bulundurun :

İle Elimizdeki$c_s := \limsup_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}$

• $0 \leq c_s < \infty \iff f \in O(g)$ ve
• $c_s = 0 \iff f \in o(g)$ .

İle Elimizdeki$c_i := \liminf_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}$

• $0 < c_i \leq \infty \iff f \in \Omega(g)$ ve
• $c_i = \infty \iff f \in \omega(g)$ .

Ayrıca,

• $0 < c_i,c_s < \infty \iff f \in \Theta(g) \iff g \in \Theta(f)$ ve
• $c_i = c_s = 1 \iff f \sim g$ .

---

Yazımla karıştıysanız, burada ve burada kontrol edin .

---

Not: Meslektaşım birçok fonksiyon için bunu başarıyla yapan bir Mathematica fonksiyonu yazdı, bu yüzden lemma işi gerçekten mekanik hesaplamaya indirgiyor.

² Ayrıca bakınız buraya .

Başka bir ipucu: bazen fonksiyonlara monoton bir fonksiyon (log veya exp gibi) uygulamak işleri daha net hale getirir.

Skiena, kitabındaki en yaygın fonksiyonlar olan Algoritma Tasarım Kılavuzu'ndaki baskın ilişkilerin bir listesini sunar:

$$n!\gg c^n \gg n^3 \gg n^2 \gg n^{1+\epsilon} \gg n \lg n \gg n \gg n^{1/2}$$ $$\gg \lg^2n \gg \lg n \gg \frac{\lg n}{\lg\lg n} \gg \lg\lg n \gg \alpha(n) \gg 1$$

Burada , ters Ackermann işlevini gösterir .$\alpha(n)$

İpucu: nasıl büyüdüklerini hissetmek için Wolfram Alpha gibi bir şey kullanarak bu işlevlerin grafiklerini çizin . Bunun çok kesin olmadığını unutmayın, ancak yeterince büyük sayılar için denerseniz, karşılaştırmalı büyüme modellerini görmelisiniz. Bu elbette bir kanıt yerine geçmez.

Örneğin, deneyin: 1'den çizim log (log (n)), 10000 tek bir grafik ya da görmek için 10000 1'den çizim log (log (n)) ve arsa log (n), bir karşılaştırma için.

Çeşitli gösterim tanımlarına göre işlem yapmayı öneriyorum. İsteğe bağlı bazı ifadeler çiftiyle başlayın ve aşağıda sıralandığı şekilde bunların sırasını belirleyin. Ardından, her bir ek eleman için, ikili arama kullanarak ve aşağıdaki gibi karşılaştırarak sıralamadaki konumunu bulun. Örneğin, listeyi başlatmak için ve nin ilk iki işlevi olan sıralayalım.$n^{\log\log n}$$2^n$

Biz bu özelliği kullanmak birinci ifade yeniden yazma . Daha sonra göstermek için tanımı kullanmaya devam olabilir , herhangi bir sabit için çünkü , bir vardır , kendisi için , .$n = 2^{\log n}$$n^{\log\log n} = (2^{\log n})^{\log\log n} = 2^{\log n\log\log n}$$n^{\log\log n} = 2^{\log n\log\log n} \in o(2^n)$$c > 0$$n_0$$n \geq n_0$$c(n^{\log\log n}) = c(2^{\log n\log\log n}) < 2^n$

Sonra, . Şimdiye kadar yerleştirdiğimiz en büyük öğe olan karşılaştırıyoruz . Yana , biz Benzer göstermektedir .$3^n$3 n = ( 2 günlük 3 ) n = 2 n günlük 3 2 n ∈ o ( 3 n ) = o ( 2 n günlük 3$2^n$$3^n = (2^{\log 3})^n = 2^{n\log3}$$2^n \in o(3^n) = o(2^{n \log 3})$

Vb.

İşte Wikipedia'dan bir liste , tablodaki düşük büyük karmaşıklık sınıfı;

$$\begin{array}{|l|l|} \hline Name & \text{Running Time} \\ \hline \text{Constant time} & \mathcal{O}(1) \\ \text{Inverse Ackermann time} & \mathcal{O}(a(n)) \\ \text{Iterated logarithmic time} & \mathcal{O}(\log^*n) \\ \text{Log-logarithmic} & \mathcal{O}(n \log n) \\ \text{Logarithmic time} & \mathcal{O}(\log n) \\ \text{Polylogarithmic time} & poly(\log n) \\ \text{Fractional power} & \mathcal{O}(n^c) ,\text{where } 0<c<1 \\ \text{Linear time} & \mathcal{O}(n) \\ \text{"n log star n" time} & \mathcal{O}(n \log^* n) \\ \text{Quasilinear time} & \mathcal{O}(n \log n) \\ \text{Quadratic time} & \mathcal{O}(n^2) \\ \text{Cubic time} & \mathcal{O}(n^3) \\ \text{Polynomial time} & poly(n) = 2^{\mathcal{O}(\log n)} \\ \text{Quasi-polynomial time} & 2^{\mathcal{O}(poly(\log n))} \\ \text{Sub-exponential time (first definition)} & \mathcal{O}(2^{n^{\epsilon}}), \epsilon >0 \\ \text{Sub-exponential time (second definition)} & 2^{\mathcal{o}(n)}\\ \text{Exponential time(with linear exponent)} & 2^{\mathcal{O}(n)} \\ \text{Exponential time} & 2^{poly(n)} \\ \text{Factorial time} & \mathcal{O}(n!) \\\hline \end{array}$$

not:$poly(x) = x^{\mathcal{O}(1)}$