HoTT'deki ürünleri kilise / scott kodlamalarına indirgeme

Şu anda bazı insanlarla HoTT kitabından geçiyorum. Göreceğimiz çoğu endüktif tipin, eşdeğer tip için ilham kaynağı olarak recuror tipini alarak sadece bağımlı fonksiyon tiplerini ve evrenleri içeren tiplere indirgenebileceğini iddia ettim. Bunun nasıl çalışacağını düşündüğümü çizmeye başladım ve bir tökezlemeden sonra cevap olduğunu düşündüğüm şeye geldim.

\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : U} (A \to B \to C) \to C

$\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : \mathcal{U}} (A \to B \to C) \to C$

(\cdot, \cdot) \equiv λ a : A . λ b : B . λ C : U . λ g : A \to B \to C . g (a) (b)

$(\cdot, \cdot) \equiv \lambda a : A. \lambda b : B. \lambda C : \mathcal{U}. \lambda g : A \to B \to C. g(a)(b)$

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . g (p r_{1} (p)) (p r_{2} (p))

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. g(pr_1(p))(pr_2(p))$

Bu, doğru tanımlayıcı denklemleri verir ( ve için denklemleri ), ancak bu, 'nin yanlış türde olacağı anlamına gelir . $pr_1$ $pr_2$ $ind_{A \times B}$

{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to U} (\prod_{a : A} \prod_{b : B} C ((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C ((p r_{1} (p), p r_{2} (p)))

$\text{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to \mathcal{U}} (\prod_{a:A} \prod_{b:B} C((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C((pr_1(p), pr_2(p)))$

Ve bunun basit bir çözümü yok gibi görünüyor. Ben de aşağıdaki tanımı düşündüm.

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . p (C (p)) (g)

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. p(C(p))(g)$

Ama bu sadece kontrol etmiyor.

Sahip olduğum başka bir fikir, yi ye dönüştürmek için kullanmaktır ancak bu çalışmanın nasıl yapılacağı açık değildir. Öncelikle, karalamalarımda ürünlerden bile daha zor olduğunu kanıtlayan kimlik türlerine bağlı işlev türlerinin nasıl azaltılacağını göstermek zorundayım. Buna ek olarak, , uygun indüksiyon formu olmadan tanımlanabilir görünmüyor, bu yüzden kitapta sunulduğu gibi kendime kimlik türlerine izin , tanımına daha yakın olmayacaktım $uniq_{A \times B}$ $C((pr_1(p), pr_2(p)))$ $C(p)$ $uniq_{A \times B}$ $uniq_{A \times B}$

Görünüşe göre burada imleci tanımlayabiliriz, ancak indüktörü değil. İndüktör gibi görünmeye oldukça yakın bir şey tanımlayabiliriz, ancak tam olarak başaramaz. Özyineleme, mantıksal birleşimin anlamı olarak bu tipte bir mantık gerçekleştirmemize izin verir, ancak ürünler hakkında eksik görünen ürünler kanıtlamamıza izin vermez.

Yapabileceğimi düşündüğüm bir indirimi yapabilir miyiz? Yani, sadece bir eşleştirme fonksiyonu ve ürünlerle aynı tanımlayıcı denklemlere ve tiplere sahip indüktör içeren bağımlı fonksiyon tiplerini ve evrenleri kullanarak bir tip tanımlayabilir miyiz? Yanlış bir iddiada bulunduğum şüphesi giderek artıyor. Öyle görünüyor ki çok sinir bozucu bir şekilde yaklaşabiliyoruz ama tam olarak başaramıyoruz. Eğer bunu tanımlayamazsak, neden yapamayacağımızı nasıl bir argüman açıklar? HoTT kitabında sunulan ürünler sistemin gücünü arttırıyor mu?

— Jake
kaynak

Anladığım kadarıyla, normal Kilise kodlaması bize bağımlı olmayan eliminasyonu (imleç) kabul eden, ancak bağımlı eliminasyonu (indüktör) kabul eden bir tür verir. Sorunuz ile ilgili olabilir bu bir . HoTT'nin bu konuda bir şey değiştirip değiştirmediğinden emin değilim.

— chi

Bu yararlı görünüyor. Anladığım kadarıyla sorum, yapıların (Coq minus (co) endüktif) türlerinin tahmini hesabı için cevaplanacaktır. Bu modellerin üzerinden geçen kağıtları (CiC modelleri olmayan CoC modelleri) arıyor, ancak bulamıyorum. Şans eseri bir kaynağın var mı?

— Jake

Maalesef paylaşacak bir referansım yok. Ayrıca bu folklor gerçeği için alıntı yapmak için bir kaynağa sahip olmakla ilgilenirim.

— chi

Ayrıca bu gerçeğe folklor referansları bulmaya devam ediyorum, ancak bir açıklama bulamıyorum.

— Jake

Güzel bir soru, ama cstheory.stackexchange.com

— Martin Berger

Yanıtlar:

Sık sık verdiğim standart referans, indüksiyonun Herman Geuvers tarafından ikinci dereceden bağımlı tip teorisinde türetilemediğidir;

N- : T y p e

$N : \mathrm{Type}$

fonksiyonları ile

Z : N- S : N- \to N-

$Z:N\qquad S:N\rightarrow N$

öyle ki

ben n d : Π P : N- \to T y p e . P Z \to (Π m : N- . P m \to P (S m)) \to Π n : N- . P n

$\mathrm{ind}:\Pi P:N\rightarrow \mathrm{Type}.P\ Z\rightarrow (\Pi m:N.P\ m\rightarrow P\ (S\ m))\rightarrow \Pi n:N. P\ n$

kanıtlanabilir. Bu, aslında, böyle bir kodlamanın, tanımladığınız gibi çiftler için çalışamayacağını gösterir.

Bunun kanıtlanmış olduğu sistem, güçlü ürün türleri ve bir evren içeren İnşaatlar Hesabı'nın bir alt kümesidir. Bu sonucun, neye sahip olduğunuza bağlı olarak, ilgilendiğiniz sisteme genişletilebileceğinden şüpheleniyorum.

Ne yazık ki, sorunuzun tam cevabını bilmiyorum. Bazı parametriklik ilkelerinin "dahili olarak" eklenmesinin, bu kodlamaların tam indüksiyon ilkesi ile çalışmasını sağlamak için tam olarak gerekli olduğunu düşünüyorum. Bilgileri kendimin katı bir üst kümesi olan Neel Krishnaswami, Derek Dreyer ile şu satırlar boyunca bir makale yazdı:

Genişlemeli İnşaat Analizinde İlişkisel Parametrikliğin İçselleştirilmesi

Ayrıca ilgi çeken konu Bernardy, Jansson ve Patterson tarafından yazılmıştır (Bernardy bu konuları derinlemesine düşünmüştür):

Parametriklik ve Bağımlı Tipler

Parametrikliğin genel olarak HoTT ile güçlü bir ilişkisi vardır, ancak detayların ne olduğunu bilmiyorum. Bence Steve Awodey bu soruları değerlendirdi, çünkü kodlama hilesi, eliminatörlerin neye benzemesi gerektiğini gerçekten bilmediğimiz bağlamlarda yararlı.

— cody
kaynak

Fikrinizin işe yaraması için @ cody'nin cevabında belirtildiği gibi ekstra bir şeye ihtiyacınız var. Sam Speight, bir impredicative evreni kullanarak HOTT elde edilebilir görmek görmek Steve Awodey gözetiminde çalıştı HOTT içinde Endüktif Türlerinin Impredicative kodlamaları blog post.

— Andrej Bauer
kaynak