Aptallar için Monadik İkinci Mertebe Mantık

Ben otomata kavrama ile programcı, ama mantık üzerinde değil.

Makalelerde bu ikisinin çok sıkı ilişkili olduğunu okudum. Deterministik Sonlu Otomata (DFA), Ağaç Otomata ve Görünür Aşağı Açılan Otomata'nın tümü Monadik İkinci Mertebeden Mantık (MSO) ile ilgilidir. Her ne kadar otomatları anlıyorum ve insanlar (gazetelerde) MSO ile olan ilişkiyi bana anlatmaya çalışsa da, her zaman mantık ve MSO anlayışında güçlü bir arka plan varsayıyorlar.

Mantıktaki kitaplara ve derslere baktığımda, çoğunlukla sadece oldukça basit görünen ve sadece birkaç kavramdan oluşan birinci dereceden mantığı idare ediyorlar: değişkenler, ya da herkes için ima etmediği, vb.

Birisi açıklayabilir veya beni açıklayabilecek bir kaynağa yönlendirebilir mi?

Birinci dereceden mantığın aksine ikinci dereceden mantık nedir?
Monadik ve monadik olmayan mantık nedir?
İkinci dereceden bir mantığın monadik olması karar verilebilir olmak için neden önemlidir VEYA bu yanlış sorudur?
Monadik ikinci dereceden mantık neden kararlaştırılabilir?
En azından DFA'larla ilişkisi?

Eğer bir kaynaksa, mantıkçı değil programcı olduğumu varsayarsak iyi olur. Bu, onu kod olarak nasıl uygulayacağımı anlamak istediğim için, çünkü o zamana kadar matematik bana sihir gibi geliyor;)

Bana verebileceğin yardımlar için teşekkür ederim. Gerçekten minnettar olurum.

— Walter Schulze
kaynak

"İkinci dereceden bir mantığın monadik olması karar verilebilir olmak için neden önemlidir VEYA bu neden yanlış bir soru?" Eğer bir ikili yüklem üzerinden kantifikasyona izin verirseniz, örneğin, o zaman hemen kararlaştırılamayan tek bir ikili yüklemle (fonksiyonlar olmadan bile) Birinci Dereceden Mantık'ın gücünü hemen alırsınız. > 0 ve eşitlik olmadan) [Kalmar, Suranyi, 1950]

\exists M [. . . M (x, y) . . .]

$\exists M[...M(x,y)...]$

— Vor

Birinci dereceden mantığın aksine ikinci dereceden mantık nedir?

Monadik ve monadik olmayan mantık nedir?

Monadik ikinci dereceden mantık, birinci dereceden mantık artı setler üzerinden nicelendirmedir. Bu nedenle, bazı özelliğe sahip bir etki alanı öğesi olduğunu söyleyebilmenin yanı sıra, özellik ), bazı özelliklere sahip bir etki alanı öğeleri kümesi olduğunu da söyleyebilirsiniz . Örneğin, grafiklerin 3-renklendirilebilirliğini şöyle tanımlayabiliriz: $\exists x\dots$

\begin{aligned} \exists R \exists G \exists B [ & \forall x (x \in R \lor x \in G \lor x \in B) \\ \land \neg \exists x ((x \in R \land x \in G) \lor (x \in G \land x \in B) \lor (x \in B \land x \in R)) \\ \land \forall x \forall y (E (x, y) \to \neg ((x \in R \land y \in R) \lor (x \in G \land y \in G) \\ \lor (x \in B \land y \in B)))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\exists G\,\exists B\, \big[&\forall x\,\big(x\in R\lor x\in G\lor x\in B\big)\\ &\land \neg\exists x\,\big((x\in R\land x\in G) \lor (x\in G\land x\in B) \lor (x\in B\land x\in R)\big)\\ &\land \forall x\,\forall y\,\big(E(x,y)\rightarrow \neg \big((x\in R\land y\in R)\lor (x\in G\land y\in G)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\lor (x\in B\land y\in B)\big)\big)\big]\,. \end{align*}$

Kelimelerde, kırmızı, yeşil ve mavi renkler var ki

her tepe noktasının bir rengi var
ve hiçbir tepe noktasının iki rengi yoktur
ve iki köşe arasında bir kenar varsa, bu iki köşe aynı renge sahip değildir.

Genel ikinci dereceden mantık sadece kümeler üzerinde nicelleştirmeye değil, aynı zamanda alan üzerinde rastgele ilişkilere de izin verir. Bazı için bir ilişkinin etki alanı üzerinde bir kümesi olduğunu hatırlayın . Kümeler sadece tekli ilişkilerdir: ve tup sadece alanın bir elementidir. $k$ $k$ $k=1$ $1$

İkinci dereceden bir mantığın monadik olması karar verilebilir olmak için neden önemlidir VEYA bu yanlış sorudur?

Monadik ikinci dereceden mantık neden kararlaştırılabilir?

Dürüst olmak gerekirse, karar verme konularını hatırlamıyorum. Önemli nokta, tam ikinci dereceden mantığın, etki alanının doğrusal bir sırasını mevcudiyetinizde ölçmenizi sağlar

\begin{aligned} \exists R \forall x \forall y \forall z [ & (R (x, y) \lor R (y, x)) \\ ((R (x, y) \land R (y, x)) \to x = y) \\ ((R (x, y) \land R (y, z)) \to R (x, z))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,\big[&(R(x,y)\lor R(y,x)\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,x))\rightarrow x=y\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,z))\rightarrow R(x,z)\big)\big]\,. \end{align*}$

Yani, toplam, antisimetrik ve geçişli, yani alanında doğrusal bir düzen olan ikili bir ilişki vardır . Yani örtülü üzerinde size doğrusal bir emir verir herhangi biri için ve ilgili ilişkileri kullanabilirsiniz yeterince büyük için bir Turing makinası bandı simüle etmek. Ancak, monadik SO ile bunlardan hiçbirini yapamazsınız. $D$ $D^n$ $n$ $D^n$ $n$

(Etki alanınız sonsuzsa, muhtemelen doğrusal sıralamanın ayrık ve minimum bir öğeye sahip olduğunu belirtmeniz gerekir; o zaman bunun doğal sayılara izomorfik olan bir başlangıç segmentine sahip olduğunu biliyorsunuz ve bu yeter.)

Sonlu girişler, SO varoluş fragmanı üzerinde - formunun formüller , ilişki sembollerdir ve tanımlarınızı tam olarak - birinci dereceden NP . Tam ikinci dereceden mantık, tam olarak polinom hiyerarşisini tanımlar. Bunun nedeni Turing makinelerini kodlama yeteneği ve sabit bir ilişki koleksiyonunun miktarının size oynamak için polinom miktarını vermesidir. $\exists R_1\dots \exists R_k\,\varphi$ $R_i$ $\varphi$

En azından DFA'larla ilişkisi?

İlişkisel yapılarla bazı sınırlı alfabe üzerinde dizeleri temsil edebiliriz . Kelime dağarcığı, doğrusal bir düzen olarak yorumlanacak bir ikili ilişki sembolüne ve her karakter için ilişkisiz sembolüne . Etki alanının her öğesi dizedeki bir karakterdir; doğrusal sıra size karakterlerin hangi sırayla göründüğünü söyler ve ilişkileri her konumda hangi karakterin göründüğünü söyler. $\Sigma$ $\leq$ $R_a$ $a\in\Sigma$ $R_a$

Şimdi diyelim ki durumları olan bir DFA var ve diyelim ki şimdilik sınırlı dizelerle uğraşıyoruz. DFA'mızın girdisi tarafından kodlanan dizeyi kabul ettiğini söyleyen yukarıdaki üç renklendirme formülüne geniş ölçüde benzeyen bir formül yazabiliriz. , otomasyonun durumunda olduğu dizedeki konumlar kümesi olacak şekilde kümeleri (etki alanı öğelerinin, yani dizedeki konumların) olduğunu . Öyleyse şunu iddia edin: $k$ $Q_1, \dots, Q_k$ $Q_i$ $i$

her konumu tam ; $j$ $Q_1, \dots, Q_k$
ilk pozisyon (bunun başlangıç durumu olduğu varsayılarak); $Q_1$
Eğer inci pozisyon olan sonra inci pozisyon otomaton geçiş fonksiyonu olması gerektiğini söyler ne durumda olduğu; $j$ $Q_i$ $(j+1)$
son pozisyon kabul edicidir.

Bu formül doğruysa, otomasyon dizeyi kabul etmelidir; yanlışsa, otomasyon reddedilmelidir. NFA'lar için, sadece her pozisyonun en az bir durumda ve son durumun en az bir kabul durumunda olduğunu söylüyoruz. Sonsuz girişler için, can kod, örneğin tüm pozisyonları için" diyerek Büchi durum eğer girişinde, bir kabul durumundayken, bazı var öyle ki bir kabul halinde de. $j$ $j$ $j'>j$ $j'$

Şu anda, sohbetin kanıtını hatırlamıyorum (MSO'da tanımlanabilir her şeyin uygun bir otomat tarafından tanınabileceğini). Zamanım olursa, yukarıya bakıp bir eskiz göndereceğim.

Bunun tersine , MSO formüllerinin, sonlu durum otomataları ile indüktif olarak, otomata yapısını takiben anlamını temsil edebiliriz. Bunu yapmak için, serbest konum değişkenlerinin değerini belirten ve değişkenlerini ayarlayan bileşenler ekleyerek otomatın alfabesini güçlendiriyoruz . Otomat boyunca bir dize okursak , belirli bir konumu belirtmek için tam olarak tek bir buluruz ve setindeki pozisyonlar da benzer şekilde işaretlenir. $i$ $X$ $1$ $i$ $X$

Temel formüllerdir "konum için sembol sahip ," için " bir elemanıdır " ve "pozisyonu için pozisyon öncedir ". Bu formüller, aşağıdaki basit sonlu durum otomatlarıyla (formül için uygun artırılmış alfabe üzerinde) temsil edilebilir: $R_a(i)$ $i$ $a$ $i\in X$ $i$ $X$ $i<j$ $i$ $j$

Daha karmaşık formüller Boolean ve varoluşsal nicelik . Bu operatörlerin amaçlanan anlamı, dil operatörleri birliği , tamamlayıcı ve karşılık gelen bileşeni artırılmış alfabeden kaldıran işlem olan projeksiyon olarak dillere kolayca çevrilebilir . Birlik için, formülün iki bölümünün serbest değişkenler kümesi üzerinde anlaşamaması durumunda, artırılmış alfabelere biraz dikkat etmeliyiz. Projeksiyon basittir, ancak deterministik bir otomasyonu belirsiz olmayan bir otomatiğe dönüştürecektir. $\lor, \lnot$ $\exists i, \exists X$ $\cup$ ${}^c$

— David Richerby
kaynak

Sohbet için önerim eklendi. @DavidRicherby

— Hendrik

Harika bir yanıt için teşekkür ederim. Bunların hepsini hala işliyorum ve üzerinde çalışıyorum, terimlere bakıyorum, bunu nasıl uygulayacağımı düşünüyordum, vb. Bu arada 3 numarasının yanlış soru olduğunu düşünüyorum. Belki de otomata ve mantık arasındaki ilişki neden bu kadar önemli, bu kadar çok makalede bahsedilmiş olmalıydı?

— Walter Schulze

Mükemmel cevap için teşekkürler!

— Klas.