İki 2x2 matrisin matris çarpımının 7'den az çarpımda yapılamayacağını nasıl kanıtlayabiliriz?

Strassen'in matris çarpımında iki garip (en azından bana) iki 2 x 2 matris çarpımının 7 çarpım aldığını söyleyebiliriz.

Soru: 6 çarpımda iki 2 x 2 matrisin çarpılmasının imkansız olduğunu nasıl kanıtlayabiliriz?

Matrislerin tamsayılar üzerinde olduğunu lütfen unutmayın.

algorithms complexity-theory lower-bounds

— karmaşa
kaynak

Daha hızlı olabilen başka matris çarpma algoritmaları da vardır. Stanford CME 323 sınıfındaki bu web makalesi Strassen'in algoritması, Matrix çarpımı: Strassen'in algoritması hakkında ayrıntılar sağlar . Ayrıntılara giren ve ek bilgilere bağlantı veren bir Wikipedia konusu Strassen algoritması var.

— Richard Chambers

@RichardChambers Strassen'in algoritmasının çarpımı olduğuna dikkat edin . Bu alt sınırın doğru olduğu bana makul geliyor.

7

$7$

— Stella Biderman

İfade edildiği gibi bu soru yanlıştır. çarpma ile çarpılabilen çok sayıda matris vardır . En kötü durumda, 7 aka gerektiren 7

6

$6$

— Stella Biderman

@StellaBiderman evet Strassen'in 7 çarpımı olduğunu gördüm. Diğer, daha hızlı ve daha düşük karmaşıklığa sahip algoritmalara bakmadım. Ne söyleyebilirim ki onlar Strassen ile aynı alt matris yaklaşım kullandık ama emin değilim. Sadece Strassen'in hakkında bazı ek bilgiler ekliyordum.

— Richard Chambers

Sorunuzda eksik olan bir şey var gibi görünüyor. En azından bazı matrisleri 0 çarpma ile çarpabilen bir algoritma kolayca verebilirim. Muhtemelen bahsetmediğiniz bir kısıtlama var.

— Jörg W Mittag

Yanıtlar:

Bu Winograd'ın klasik bir sonucudur: 2x2 matrislerin çarpımında .

Strassen, matris çarpımının üssünün, matris çarpma tensörlerinin tensör sıralamasının üsüyle aynı olduğunu gösterdi: matris çarpımının cebirsel karmaşıklığı , tensör sıralamasında (iki matrisinin çarpımına karşılık gelen matris çarpma tensörü ) dır . Strassen'in algoritması, üst sınır çıkarmak için kolay yönü kullanır . $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

Winograd'ın sonucu . Landsberg rangle'ın sınır sıralamasının da 7 olduğunu ve Bläser ve ark. son zamanlarda bunu rütbe ve sınır destek rütbesini destekleyecek şekilde genişletti. Sınır sıralaması ve destek sıralaması, hızlı matris çarpma algoritmalarında kullanılan (sınır sıralaması durumunda) veya önerilen (destek sıralaması durumunda) daha zayıf (= daha küçük) sıra kavramlarıdır. $R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— Yuval Filmus
kaynak

Sonucu şu adreste bulabilirsiniz:

S.Winograd, 2x2 matrisin çarpımı üzerine , Lineer Cebir ve Uyg. 4 (1971), 381-388, MR0297115 (45: 6173).

— Stella Biderman
kaynak