Sağlamlık neden tutarlılık anlamına gelir?

Ben soruyu okuyor Tutarlılık ve tamlık sağlamlığını ima? ve içindeki ilk ifade şöyle diyor:

Sağlamlığın tutarlılığı ima ettiğini anlıyorum.

Hangi oldukça şaşırdım çünkü sağlamlık tutarlılıktan daha zayıf bir ifade olduğunu düşündüm (yani tutarlı sistemlerin sağlam olması gerektiğini düşündüm ama sanırım doğru değil). Scott Aaronson'un MIT'deki 6.045 / 18.400 kursunda tutarlılık ve sağlamlık için kullandığı gayri resmi tanımı kullanıyordum :

1. Sağlamlık = Bir kanıt sistemi, kanıtladığı tüm ifadeler gerçekten doğruysa (kanıtlanabilir her şey doğrudur) sağlamdır. yani EĞER ( $\phi$ kanıtlanabilir)$\implies$( $\phi$ Doğru). EĞER (bir formülün yolu varsa) SONRA (bu formül Doğru'dur)
2. Tutarlılık = Tutarlı bir sistem asla A ve NOT (A) 'yı kanıtlamaz. Bu yüzden sadece bir A veya olumsuzlaması Doğru olabilir.

Bu (belki de gayri resmi) tanımları göz önünde bulundurarak, sağlam ancak tutarlı olmayan bir sistem olduğunu göstermek için aşağıdaki örneği oluşturdum:

Bunun sağlam bir sistem olduğunu düşünmemizin nedeni, varsayımla aksiyomların doğru olmasıdır. Yani A ve A değil her ikisi de doğrudur (evet, dışlanan orta yasa dahil değildir biliyorum). Tek çıkarım kuralı olumsuzluk olduğundan, aksiyomlardan A'ya değil A'ya ulaşabilir ve birbirimize ulaşabiliriz. Böylece, sadece bu sistemle ilgili True ifadelerine ulaşırız. Ancak, elbette sistem tutarlı değildir, çünkü sistemdeki tek ifadenin reddini kanıtlayabiliriz. Bu nedenle, bir ses sisteminin tutarlı olmayabileceğini gösterdim. Bu örnek neden yanlış? Neyi yanlış yaptım?

Kafamda bu sezgisel olarak mantıklı geliyor, çünkü sağlamlık sadece başladıktan sonra ve aksiyom ve çıkarım kurallarını kastettiğimizde, sadece Doğru olan hedeflere (yani ifadelere) ulaştığımızı söylüyor. Ancak, hangi varış noktasına geldiğimizi gerçekten söylemiyor. Ancak tutarlılık, yalnızca veya (her ikisi birden değil) ulaşan bir hedefe ulaşabileceğimizi söylüyor . Bu nedenle, her tutarlı sistem, hariç tutulan ortadaki bir aksiyom yasasını içermelidir, ki bu tabii ki ben yapmadım ve sonra sadece diğer aksiyom olarak tek aksiyomun olumsuzlanmasını içermiştir. Yani çok zekice bir şey yaptığımı hissetmiyor, ama bir şekilde bir şeyler yanlış mı?¬ $A$$\neg A$

Bunun bir sorun olabileceğinin farkındayım çünkü Scott'ın resmi olmayan tanımını kullanıyorum. Soruyu yazmadan önce bile wikipedia'yı kontrol ettim ama tanımları bana mantıklı gelmedi. Özellikle söyledikleri kısım:

sistemin anlambilimi açısından

tam teklifleri:

sistemde kanıtlanabilecek her formül, sistemin anlambilimi açısından mantıksal olarak geçerlidir.

Belirsiz, el-dalgalı açıklamaların ötesinde resmi mantığa bakmanızı tavsiye ederim. Bu ilginç ve bilgisayar bilimi ile son derece alakalı. Ne yazık ki, özellikle resmi mantıkla ilgili ders kitaplarının terminolojisi ve dar odaklanışı, mantığın çarpık bir resmini sunabilir. Mesele şu ki, matematikçiler "mantık" hakkında konuştuğunda, (genellikle örtük olarak) klasik önerme mantığı veya klasik birinci dereceden mantık anlamına gelirler. Bunlar son derece önemli mantıksal sistemler olsa da, mantığın genişliğine yakın bir yerde değildirler. Her halükarda, söyleyeceğim şey büyük ölçüde bu dar bağlamda gerçekleşir, ancak bunun belirli bir bağlamda gerçekleştiğini ve bunun dışında doğru olması gerekmediğini açıkça belirtmek istiyorum.

İlk olarak, tutarlılık hem ispatı değil olarak tanımlanır eğer ve bizim mantık bile olumsuzlamasıydı yoksa olur ya ne olur,¬ A $A$$\neg A$$\neg$başka bir şey ifade ediyor? Açıkça, bu tutarlılık kavramı, içinde çalıştığı mantıksal bağlam hakkında bazı varsayımlar yapar. Tipik olarak, bu, klasik öneri mantığında veya klasik birinci dereceden mantık gibi bir uzantısında çalışıyoruz. Klasik öneri / birinci dereceden mantık olarak adlandırılabilecek, ancak bizim amacımız için, gerçekten önemli olmayan birden fazla sunum, yani aksiyom ve kural listeleri var. Bazı uygun anlamda eşdeğerdirler. Tipik olarak, mantıksal bir sistemden bahsederken (klasik) birinci dereceden bir teoriyi kastediyoruz. Bu, belirli işlev sembolleri, yüklem sembolleri ve aksiyomlar (mantıksal olmayan aksiyomlar olarak adlandırılır) eklediğiniz klasik birinci dereceden mantığın kuralları ve (mantıksal) aksiyomları ile başlar. Bu birinci dereceden teoriler genellikle

Daha sonra, sağlamlık genellikle anlambilime göre sağlamlık anlamına gelir. Tutarlılık, hangi resmi kanıtları yapabileceğimizle ilgili sözdizimsel bir özelliktir. Sağlamlık, formülleri, fonksiyon sembollerini ve sembolleri matematiksel nesnelere ve ifadelere nasıl yorumladığımızla ilgili semantik bir özelliktir. Sağlamlık hakkında konuşmaya başlamak için, bir anlambilim, yani yukarıda belirtilen şeylerin yorumlanması gerekir. Yine, mantıksal bağlaçlar ve mantıksal aksiyomlar ile fonksiyon sembolleri, yüklem sembolleri ve mantıksal olmayan aksiyomlar arasında bir ayrımımız var. Bağlaçları bağlaçlar ve mantıksal aksiyomları anlamsal bakış açısından mantıksal aksiyomlar yapan şey, fonksiyon sembolleri, yüklem sembolleri ve mantıksal olmayan aksiyomlar yapmazken, özellikle semantik tarafından tedavi edilmeleridir.$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ Kullandığım nerede formülünün yorumu olarak . Özellikle, Burada etki alanı kümesidir. Fikir, bir formülün, formülü tatmin eden etki alanı öğeleri kümesi (tuples) olarak yorumlanmasıdır. Kapalı bir formül (yani, serbest değişkenleri olmayan bir formül), tek bir kümenin yalnızca bu tekli veya boş küme olabilen bir altkümesi anlamına gelen nullar bir ilişki olarak yorumlanır. Kapalı küme, boş küme olarak yorumlanmazsa "true" olur. O halde sağlamlık, yukarıdaki her kanıtlanabilir (kapalı) formülün "doğru" ifadesidir.$[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

Buradan, verdiğim taslaktan bile, sağlamlığın tutarlılığı ima ettiğini kanıtlamak kolaydır (klasik birinci dereceden mantıklar ve çizdiğim anlambilim bağlamında). varsa sağlamsa, her kanıtlanabilir formül boş olmayan bir küme olarak yorumlanır, ancak her zaman formül ne olursa olsun boş küme olarak yorumlanır ve böylece kanıtlanamaz, yani mantığınız tutarlı.

Sağlamlık ve tutarlılık tümdengelim sistemlerinin özellikleridir. Sağlamlık yalnızca tümdengelim sisteminden bağımsız olarak verildiği varsayılan bazı anlambilim açısından tanımlanabilir.

Anlambilim alanında iki özellik birbiriyle ilişkilidir

Tanım 1 ( Sağlamlık [Anlambilim] - Vikipedi'den ödünç alınmıştır ) Tümdengelim sisteminin sağlamlığı, söz konusu tümdengelim sisteminde geçerli olan herhangi bir cümlenin, bu teorinin üzerinde bulunduğu dil için anlambilim teorisinin tüm yorumlarında veya yapılarında da geçerli olmasıdır. dayanır.

Tanım 2 ( Tutarlılık [Anlambilim] ) dilinde cümlesi kümesi, yalnızca tüm cümleleri karşılayan dilinin bir yapısı varsa tutarlıdır . Tümdengelimli bir sistem, içinde kanıtlanabilir tüm formülleri karşılayan bir yapı varsa tutarlıdır.$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

Yukarıda verilen iki tanım ile sağlamlığın tutarlılığı ima ettiği açıktır. Yani, ispatlanabilir tüm cümlelerin dili dilin tüm yapılarında bulunuyorsa, onları tatmin eden en az bir yapı vardır.

İspatınız sistemi beri, ses ve tutarlı değildir gerçek önerme değildir sürece kılıfı, In gerçek bir önerme değildir. Bu argüman, her ses geçirmez sistemin de tutarlı olduğunu göstermektedir.A ≡ ⊤ ¬ A ≡ $A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

Genellikle mantıksal sistemler bulduğumuzda, önceden var olan bir fenomeni tanımlamak için motive olurlar. Örneğin, Peano aritmetiği, toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte doğal sayıları aksiyomatize etme girişimidir.

Sağlamlık yalnızca tarif etmeye çalıştığınız fenomene göre tanımlanabilir ve aslında aksiyomlarınızın ve çıkarım kurallarınızın söz konusu şeyi gerçekten tanımladığı anlamına gelir. Örneğin, Peano aritmetiği sağlamdır, çünkü aksiyomları ve çıkarım kuralları gerçekten doğal sayılar için doğrudur.

Bu, elbette, Peano'nun tanımlarının ötesinde bir "doğal sayılar" kavramına ve bu gerçekleri belirli bir aksiyom kümesinden çıkarmadan doğal sayılar için doğru ya da yanlış olana dair bir fikriniz olduğu anlamına gelir. Bu gerçeklerin nereden geldiğini veya nasıl doğrulanabileceğini açıklamaya çalışmak sizi felsefi sıcak sulara götürebilir. Ancak, doğal sayılar VAR ve onlar hakkında gerçek gerçeklerin bir koleksiyonu varsa, bunu kabul ederseniz, aksiyomatizasyon projesini, en önemlilerinden birçoğunun özlü bir resmi şartname bulmaya çalışmak olarak görebilirsiniz. gerçekler türetilebilir. O zaman bir aksiyomatizasyon, kanıtlayabileceği her şey, önceden belirlenmiş hakikat koleksiyonundaysa, yani,

(Özellikle resmi spesifikasyonunuzun doğal sayılarla ilgili doğru olan her şeyi kanıtlamayacağını ve dahası , doğal sayıları Peano'nun aksiyomlarının bulunduğu doğal sayılardan farklı olan diğer yapıların varlığında benzersiz bir şekilde tanımlamayacağını unutmayın. o da doğru.)

Birinci dereceden mantıkta, en azından, herhangi bir modeli varsa bir teori tutarlıdır. Sağlamlık, istediğin belirli bir modele sahip olduğu anlamına gelir: teorinizle açıklamaya çalıştığınız belirli yapı gerçekten teorinizin bir modelidir. Bu açıdan bakıldığında, sağlamlığın neden tutarlılığı ima ettiği açıktır.

Tutarlı fakat sağlam olmayan bir teori örneği olarak: Peano aritmetiği, PA, mantıksal formülleri aritmetik yapılar olarak kodlayabilir ve özellikle "PA tutarlıdır" ("yanlışlık kanıtı yoktur" PA aksiyomları "). Bu cümleyi Con (PA) olarak adlandır. Ayrıca (sağlam ve bu nedenle tutarlı olduğu için) PA'nın Gödel'in ilk eksiklik teoremiyle Con (PA) ispatlayamayacağını da biliyor olabilirsiniz. Bu aynı zamanda PA + teorisinin$\neg$Con (PA) bir çelişki olduğunu kanıtlayamaz, bu yüzden tutarlı olmalıdır. Ama kulağa hoş gelmiyor: PA aksiyomlarından bir yalan kanıtı kodlayan doğal bir sayı olduğunu iddia ediyor, ancak "gerçek" doğal sayılarda muhtemelen böyle bir sayı olamaz, aksi takdirde ayıklayabiliriz PA'nın tutarsızlığının gerçek bir kanıtı.

PA + Con (PA) modellerine sahiptir, ancak söz konusu "kanıtı" şifrelediğini iddia ettiği gibi "ekstra" nesneleri, "standart dışı doğal sayıları" içermesi gereken modellerdir. Teori, bu standart dışı unsurları gerçek iyi niyetli üyelerinden ayırmak veya ispatın meşru bir kanıt olmadığını göstermek için gerekli araçlarla donatılmamıştır .$\neg$$\mathbb N$

Alternatif olarak bunu şu şekilde yorumlayabilirsiniz: PA + Con (PA) mükemmel bir meşru mantıksal sistemdir - doğal sayıları doğru bir şekilde tanımlamaz ve doğal sayılar bunun bir modeli değildir.$\neg$

Bir şey daha: Biz yok aksiyomlar tanım gereği geçerli olduğunu varsayalım. Tüm aksiyomlar tanım gereği sadece kanıtların temel yapı taşlarıdır. Sadece iddialar: sadece belirli matematiksel nesnelere uygulandıklarında doğru veya yanlıştırlar. Yanlış aksiyomlara sahip olabilirsiniz, bu sadece aptalca, çünkü sisteminiz mutlaka ve derhal sağlam olmayacaktır.

Bir sahip olmak özlü Scott Aaronson onun 6,045 / 18,400 MİT ders söylediklerini (ve sezgisel) Ben tefsir edecek cevabı. Böyle bir şey söyledi:

Sağlamlık, kanıtlanabilir her şeyin doğru olduğu anlamına gelir. Tutarlılık, halihazırda yer alan hiçbir çelişki ve sağlamlık olmadığı anlamına gelir, çünkü gerçek ve gerçek kavramı tutarlı olmalıdır (yani Doğru! = Yanlış), o zaman Ses sistemleri de tutarlı demektir. Dolayısıyla Sağlamlık tutarlılığı ifade eder, çünkü (gerçekte) gerçek şeylerin çelişkileri yoktur.

Şimdi yansıttığım için bazı yanlış varsayımlar / fikirlerim olduğunu fark ediyorum:

1. Sesliliğin anlambilimle ilgili olduğunu fark etmedim. Böylece, sadece aksiyomlardan çıkarım kurallarının kullanılmasının gerçek sonuçlara yol açması için yeterli olmadığını (ve bunu garanti etmediğini, aksiyomlardan başladığımız sürece çelişkili şeylere ulaşmanın imkansız olduğunu düşündüğümü ve geçerli çıkarım kuralları kullanılır).
2. Aksiyomlar doğru olduğu ve çıkarım kurallarının ilerleyen her şeyin doğru olacağını düşündüğünü düşündüm. Şimdi fark ettiğim doğru olmayabilir, çünkü eğer dev bir aksiyom ve çıkarım kurallarımız varsa, takip eden her şeyin doğru olması durumunda akıl yürütmek zor. yani sadece bir aksiyomdan başlamak ve geçerli bir çıkarım kuralı kullanmak, bir sonraki adımın doğru olacağını garanti etmek için yeterli değildir.
3. Birincisi aslında iki karmaşıklık seviyesi, 1) anlambilim 2) sözdizimsel olduğunu fark etmediğim gerçeğiyle birleşti. Oyun çıtırtı sembolleri krank çelişkilere yol açabilir.
4. Gerçekliğin doğru karakterizasyonunu bilmediğimin farkında değildim.