Çelişkili kanıt, dışlanmış orta yasası olmadan işe yarayabilir mi?

Son zamanlarda, ispatın çelişkinin geçerliliğini düşünüyordum. Geçtiğimiz birkaç gün boyunca sezgisel mantık ve Godel'in teoremleri hakkında sorularıma cevap verip vermeyeceklerini okudum. Şu anda hala sorularım var (belki de okuduğum yeni materyalle ilgili) ve bazı cevaplar almayı umuyordum

( UYARI : mantığı çok karışık temelleri olan içeriği okumaya devam edersiniz, her şeyi bir tuz tanesi ile alırsınız, bunun bir soru değil, bir soru olduğu varsayılır, içinde birçok yanlış anlama var).

Sanırım asıl sorum şu: A'nın bazı çelişkilere yol açtığını gösterdiğimizde, A'nın yanlış olmaması gerekir, o zaman gidip A'nın doğru olması gerektiği sonucuna varıyoruz. Bu kısım mantıklı (özellikle dışlanan ortadaki yasayı mantıklı bir şey olarak kabul edersem) ama beni rahatsız eden şey, çelişkinin kanıtının gerçekte nasıl gerçekleştiğidir. İlk önce A değil ile başlıyoruz ve sonra sadece aksiyomları ve çıkarım kurallarını uyguluyoruz (mekanik olarak söyleyin) ve bunun bizi nereye götürdüğünü görüyoruz. Genellikle bir çelişkiye ulaşır (Diyelim ki A doğrudur veya ve doğrudur). Biz A'nın yanlış olmaması gerektiği sonucuna varıyoruz, bu yüzden A doğrudur. Bu iyi. Ama sorum şu ki, resmi sistemlerin ne tür garantileri var?$\neg \varphi$$\phi$aynı süreci uygularsam ama A ile başlasam da orada bir çelişki yaşamaz mıyım? Sanırım çelişkilerle benzer bir süreç, aynı süreç A'da bir çelişkiye ulaşmazsa, olmayacak ne tür garantilere sahip olduğumuzu kanıtlayan gizli bir varsayım olduğunu düşünüyorum. İmkansız bir kanıt var mı? Başka bir deyişle, sonsuza dek giden bir Tornalama Makinesi (TM) (veya süper TM) varsa, sözde gerçek ifadesinden başlayarak her aksiyomdan tüm mantıksal adımları denedi , bir çelişki bulmaktan dolayı DURMADIĞINI garanti eden şey ?$A$

Daha sonra Godel'in eksiklik teoremiyle şu şekilde bir şey yapan geçmiş sorumla bazı bağlantılar kurdum:

Aritmetiği ifade eden resmi bir sistem F kendi tutarlılığını kanıtlayamaz (F içinde).

Bu temelde, eğer bu doğru ise tutarlılık yani A'nın değil A'nın garanti edilmesinin imkansız olduğunu açıkça ortaya koydu. Bu nedenle, çelişkinin kanıtının dolaylı olarak bir şekilde tutarlılığın garanti altına alındığını varsaydığı görülmüştür (aksi halde neden devam edip A'nın doğru olmadığını zaten tutarlılığı bilmiyorsa A'nın mümkün olmadığını kanıtlayarak sonuçlandırılması gerekir. ve çelişki, nerede olursa olsun, A) değil, A ifadesi çifti için? Bu yanlış mı yoksa bir şey mi kaçırdım?

Sonra düşündüm, tamam sadece aksiyomlarımıza dışlanmış orta kuralını dahil edelim ve sonra tüm problemler çözüldü. Ama sonra fark ettim, eğer yaparsak, sorunu ele almak yerine sorunu tanımladığımızı düşünürsek. Eğer sistemimi, aslında tutarlı olduğu anlamına gelmeyen bir tanımla tutarlı olmaya zorlarsam ... değil mi? Sadece bu fikirleri anlamaya çalışıyorum ve ne yapacağımdan tam olarak emin değilim ama bu kavramların, çelişkilerin, seçkin ortaların hemen hemen her alanında bir şeyler okuduktan ve videolar izledikten sonra farkına vardım, sezgisel mantık, Godel'in bütünlüğü ve eksiklik teoremleri…

Bununla ilgili olarak, dışlanmış orta (veya çelişki) kuralı olmadan bir şeyin yanlış olduğunu gerçekten kanıtlamak aslında imkansız görünüyor. Kanıt sistemlerinin gerçek ifadeleri kanıtlamada iyi olduğu anlaşılıyor, ancak benim anlayışımla, şeylerin doğrudan yanlış olduğunu gösteremedi. Belki de bunu yapmanın yolu dolaylı olarak çelişkilidir (bir şeyin yanlış veya kötü şeyler olması gerektiğini gösterir) veya hariç tutulan orta (sadece bir A'nın veya A'nın değil A'nın gerçek değerini bilmek bize diğerinin gerçekliğini verir) veya karşı örnekler sağlamak (temelde bunun tersinin doğru olduğunu gösterir, dolaylı olarak hariç tutulan ortadaki yasayı kullanır). Sanırım belki de bir şeyin yanlış olduğuna dair yapıcı bir kanıt isterim?

Eğer A'nın yanlış olduğunu kanıtlarsam (çelişki kabul ettiğimi söyle) o zaman gerçekten iyi olduğunu ve tüm çıkarım kurallarını ve aksiyomlarını A'ya sonsuz olarak uygulamam gerekmediğini bilebilirsem ve A'nın kazandığını garanti ederim. bir çelişkiye ulaşmaz. Eğer bu doğruysa, o zaman çelişkinin kanıtını daha kolay kabul edebileceğimi düşünüyorum. Bu doğru mu yoksa Godel'in ikinci eksikliği buna sahip olamayacağımı garanti ediyor mu? Eğer buna sahip olamıyorsam, beni şaşırtan şey, matematik yapan o kadar çok matematikçinin bir tutarsızlık bulamadığımızın ne kadar mümkün olduğudur? Ampirik tutarlılık kanıtlarına güvenmem gerekiyor mu? Ya da örneğin I prof F, superF F'yi kanıtlayarak tutarlıdır ancak asla superF ve sadece F'ye ihtiyacım olmayacağından, gerçekten işe yarayan içerik olamam?

Şikayetimin doğrudan kanıtlara da dayandığını fark ettim. Tamam, eğer A'nın doğrudan bir kanıtını yapsaydım, o zaman A'nın doğru olduğunu bilirim ... ama A'nın değil, doğru bir kanıt elde edemeyeceğimin doğrudan bir kanıtını yapsaydım nasıl bilebilirim? Aynı soru biraz farklı vurgu gibi görünüyor ....

Siz (Sorunuzu biraz daha ): " ve hem bir çelişkiye yol ne gibi bir resmi garantisi var ?" Mantık tutarsızsa, çelişki ile kanıtlamanın sorunlu olduğunu düşünüyor gibisiniz. Ancak durum hiç de böyle değil.$\lnot p$$p$

Mantık tutarsızsa, çelişki ile kanıt hala geçerli bir akıl yürütme kuralıdır, ancak olumsuzlaması ve sonraki papa olduğunuzu söyleyebileceğimiz kuralı da geçerlidir . Mantıktaki tutarsızlık hiçbir şeyi geçersiz kılmaz: tam tersi, her şeyi doğrular !$1 + 1 = 2$

Başka bir olası karışıklık kaynağı daha vardır: sorunuzun başlığı, hariç tutulan ortadaki yasanın mantığın tutarlı olduğunu ima ettiği şeklinde okunabilir. Bu yanlış. Mantık tutarlılığı “hem bir ifadenin hem de olumsuzlamanın kanıtlara sahip olması değildir”, hariç tutulan orta ise biçimindeki ifadeleri kanıtlamamıza izin veren kuraldır .$p \lor \lnot p$

Tamamlayıcı: Bu sorunun neden bu kadar tartışma yarattığını anlamıyorum. İkilemin gerçekte ne olduğunu anlamakta güçlük çekiyorum ve anlayabildiğim kadarıyla soru bir tür yanlış anlamadan kaynaklanıyor. Birisi soruyu açıklayabilirse minnettar olacağım. Ayrıca, aşağıdaki noktalara dikkat çekmek istiyorum:

1. Çelişki ve dışlanan ortalamanın kanıtı birbirine eşdeğerdir ve bu nedenle başlık, yazıldığı gibi, mantıksızdır. Tabii ki biri olmadan diğeri olamaz, eşdeğerdir.

2. Sorudaki uzun tartışmadan anlayabildiğim kadarıyla, OP mantıktaki bir tutarsızlığın bir kanıtı geçersiz kıldığını söylüyor ya da endişeleniyor gibi görünüyor. Yukarıda belirttiğim gibi, bu yanlıştır. Ben OP bir cevap bir tür takdir ediyorum: OP mantık (yani, her şeyi kanıtlamak için) tutarsızlık herhangi bir kanıt geçersiz kılınmaz nasıl görebilir?

3. Ben büyük olasılıkla bulmak, ama gerçekten OP orta hariç ülkelerin yasa her ikisi için olanaksız olduğunu düşündüğü, kesin söyleyemem ve bir formülle (muhafazasına:¬ p ¬ ( p ∧ ¬ p $p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$ ). Bu ortada yer almaz. Bazen çelişki yasası olarak adlandırılır ve kanıtlanabilir (orta hariç).

4. OP "dışlanmış bir orta olmadan bir şeyin yanlış olduğunu doğrudan kanıtlamanın imkansız" olduğunu düşünüyor. Aynı şey olmayan, olumsuzluk ve çelişkinin kanıtını karıştırıyor . Bağlantılı gönderi, bir şeyin yanlış olduğuna dair yapıcı kanıtların birçok örneğine sahiptir. Aslında, ders kitaplarında bulunan bir şeyin yanlış olduğuna dair çoğu kanıt zaten yapıcıdır.

5. Gödel'in eksikliği, fark edebileceğim bir nedenden dolayı sürükleniyor. Gödel'in eksiklik bir cümle sağlar ne şekilde G ne de ¬ G ispatlanabilir olduğunu. Bu , G ∨ ¬ G'nin kanıtlanamaz olduğu anlamına gelmez (dışlanan ortalamanın basit bir uygulamasıyla)! ¬ G ∧ ¬ ¬ G'nin böyle olduğunu da ima etmez . Peki Gödel'in eksikliği burada nasıl alakalı?$G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

PS: Kaba olan ekin önceki sürümü için özür dilerim.

Sorunuzun "bir tür resmi mantıkla resmi doğrulama yaparken, mantığın tutarlı olduğuna dair ne tür bir garantiye sahibim?" Ve cevap: hiçbiri. Bu varsaymanız gereken bir şey. Resmi doğrulama tüm varsayımları ortadan kaldırmaz; sadece varsayımlarınız konusunda daha net olmanıza yardımcı olur ve belki de makul görünen varsayımlardan başlamanıza yardımcı olur.

Standart bir mantık içinde çalışıyorsanız, çoğu insan bu gerçeğin bir kanıtı olmasa bile mantığın tutarlı olduğunu varsaymaktan memnuniyet duyar. Bir gün mantığın aslında tutarsız olduğunu keşfedebileceğimiz doğrudur ... ama çoğu insan bunun pek olası olmadığını düşünüyor.

Bazı durumlarda, bir mantığın tutarlı olduğu kanıtlanabilir, ancak bu daha güçlü bir mantık kullanılmasını gerektirir, burada ikinci mantığın tutarlı olduğunu varsaymalıyız, bu yüzden hala bazı varsayımlar yapmak zorunda kalırız ( bazı mantığın tutarlı olduğunu varsayalım ). Bu, ikinci mantığın muhtemelen tutarlı olduğuna inanıyorsanız, ancak mantığın bir yere kadar inmesi gerektiğine inanıyorsanız, ilk mantığın muhtemelen tutarlı olduğuna dair kanıt olarak kabul edilebilir - sadece varsaymamız gereken ve kanıtlayamayacağımız bazı şeyler vardır.

Örneğin, Hilbert'in ikinci sorunu ve ZFC'nin tutarlılığı hakkındaki bu tartışmaya bakın (ve şu , bu ve bu ve muhtemelen daha fazlası).

Yayınınızın üzerinde durduğu birçok ilginç felsefi nokta var.

Boole mantığının tutarlılığı

Klasik mantıkta ispat teorisinin tutarlılığı konusu sizin ortaya çıkardığınız kadar korkunç değildir. Temel olarak aşağıdakilere indirgenir:

Boolean mantığını, doğruluk değerleri 1ve üzerindeki mantıksal işlem fonksiyonları koleksiyonu olarak tanımlayabiliriz 0. Ama bunu nasıl biliyoruz 0≠1?

(sadece iki doğruluk değeri için soyut semboller kullandığımı 0ve 1özellikle herhangi bir tamsayı kavramını varsaymıyorum)

Biz, tabii ki, yok biliyorum o 0ve 1farklıdır. Ancak Boole mantığı o kadar gülünç derecede basittir ki, bu olasılığı reddetmek aşırı derecede şüpheciliktir.

Ancak klasik önerme mantığı buna indirgenir. Atomik önermelere Boole değerlerini herhangi bir şekilde atayabileceğimizi hatırlayın ve bu, atomik olanlardan yapılabilecek tüm önermelere bir değer atamaya uzanır.

" PSizden çıkarabilirsiniz Q" ifadesi tam anlamıyla bir düzen ilişkisidir; " atom önermelerine doğruluk değerleri atanan v(P) ≤ v(Q)her fonksiyon için geçerli " iddiasıyla aynı anlama gelir v.

Önerme mantığı için çıkarım kuralları tam olarak siparişle çalışmanın özellikleridir ≤. Özellikle çelişkinin kanıtı P ≤ 0, o zaman gözlemdir P = 0.

Ve sorununa geri dönersek ... ikisini de bilseydik P ≤ 0ve ¬P ≤ 0doğruluk değerlerini ekledikten sonra sonuçta şu sonuca varırdık 0=1; bu doğru ve yanlış aynı anlama gelir.

Dolayısıyla, "doğru" ve "yanlış" ifadelerinin farklı şeyler ifade ettiğine inanıyorsanız, Boole mantığının tutarlılığına da benzer bir güven duymalısınız.

Sezgisel mantıkta çelişki ile kanıt

Çelişkili ispatın şu şekilde daha iyi formüle edildiğine dikkat edilmelidir:

• Eğer çelişki türetebilirseniz P,¬P

Aslında, bir düpedüz olabilir tanımlamak bu özelliğiyle bağ olması olumsuzlamasıydı. İçinde Ör Heyting cebir genellikle ¬P ortalama P → 0 tanımlanmış göreceksiniz.

Özellikle, özel durum

• Eğer çelişki türetebilirseniz ¬P,¬¬P

Ne "çelişki tarafından kanıtı" olarak tanımlanan belirlenmesi gelir ¬¬Pile P. Sezgisel mantık bunların eşdeğer olduğunu varsaymaz.

Resmi bir sözleşme olarak tutarlılık

Mantığı kodlamak için daha fazla hesapsal formalizm vardır; bkz. basitçe yazılan lambda hesabı, bağımlı türler ve özellikle "tür olarak önermeler" paradigması.

Ayrıntıya girmeden, çelişki temel olarak resmi sözleşme olarak ele alınır. Arayacağım bir tür 0var ve "bu işlevler bir tür eleman oluşturmak için kullanılamaz" sözleşmesi var 0.

Böyle bir sistem bir işlev kurmanıza izin verecek kadar cesursa T → 0, gerçekten sözleşmeyi elinde tutuyorsa, benzer herhangi bir tür nesne inşa etmenin imkansız olduğu anlamına gelir T. Bu, çelişkili bir ispatın ne anlama geldiğine dair hesaplamalı bir bakış açısıdır.

Sonuçta bu, boş bir işaretçi döndürmeyeceğine işaret eden bir işaretçi döndüren bir C işlevinden ya da bir istisna atmamaya söz veren bir C ++ işlevinden çok farklı değildir.

Ve tam daireye gitmek, klasik mantığa geri dönmek, gerçekten de bunu yapıyoruz.

"Peano aksiyomlarından çıkarım kuralları bir çelişki elde etmenize izin vermeyecek" gibi resmi sözleşmeler sunulur. Bu sözleşme gerçekten geçerliyse, bunun ¬Pbir çelişki anlamına geldiğini gösterebildiyseniz, Paynı zamanda bir çelişki anlamına da gelemez.

Ve sözleşmeyi ihlal etmek mümkün olsaydı, "Peano'nun aksiyomları tutarsız" diyebiliriz.

Resmi bir ifadenin gerçekliğini garanti etmek için kullanıldığında, tüm kanıtlar, içinde bulundukları sistemin tutarlılığını dolaylı olarak varsayar. Bunun nedeni, eğer sistem tutarsızsa, sistemin tamamı bozulursa ve yaptığımız tüm işler bu sistemde temelde çöp.

Herhangi bir sistemin (veya en azından herhangi bir karmaşık sistemin) o sistemin sınırları içinde tutarlı olduğunu kanıtlayamadığımız için, onu resmi olarak kanıtlanabilir bir gerçeklik yerine ampirik bir gerçek olarak kabul etmeliyiz. Temel olarak, matematikçiler resmi bir sistemle çalışmak için uzun zaman harcıyorlarsa ve hiçbir çelişki bulunmuyorsa, bu, sistemin tutarlılığı lehine ampirik bir kanıttır. Ek olarak, birlikte çalıştığımız sistemin tutarlılığını kanıtlamak için daha güçlü bir sistem kullanabiliriz (bu daha güçlü sistemin tutarlılığı hala ampirik olsa da - kova bir yerde durur).

Özünde, matematikteki durum bilimin durumu ile aynıdır. Bu teoriler hakkında elimizdeki tüm bilgilere dayanarak doğru görünen matematik teorilerini temel alıyoruz ve bilimde olduğu gibi bir teorinin doğru olduğunu kanıtlayamazsınız; sadece yanlış olduğunu kanıtlayabilirsiniz.

$S$

Hangi aksiyom sistemini matematiğe dayandırırsak seçelim, her zaman bu sistemde bir çelişki keşfetme tehlikesi vardır. İşte bu yüzden matematikçiler matematiğe yeni aksiyomlar getirmezler: her yeni aksiyomun halihazırda kullanılmakta olan aksiyomlarla uyumsuz olma şansı vardır ve yeni aksiyomu kullanan tüm çalışmaların tamamen yeniden değerlendirilmesi gerekir.

Zeyilname: Belirli bir sistem için doğru olan bir ifadeden bahsettiğimde, eğer bu sistem tutarlıysa, o sistem içinde kanıtlanamayacağı anlamına gelir.