Önkoşullar hakkında başka bir soru sorduğum için özür dileyebilir, ama başlangıç ​​noktaları hakkında kafam karıştı. "Modal Mantık", "Geçici mantık", "Birinci dereceden Mantık", "İkinci dereceden Mantık" ve "Yüksek dereceden mantık" gibi çeşitli terimlerle karşılaştım.

Bu bağlamda "Mantık" tam olarak ne anlama geliyor? "Mantık" kelimesini titizlikle nasıl tanımlarız?

Birkaç kitabın başlangıç ​​sayfalarından geçtikten sonra kabaca "Bir Mantık, programlama dillerinin tasarımında otomatik olarak gerekçeleri ve anlamalarını sağlayacak şekilde program tasarlamayı istediğini belirlerken ve neyin ne anlama geldiğine karar vermenin bir yoludur." İkinci nokta hakkında biraz ayrıntılı bir şekilde anlamak.

Şimdi bu mantıklara geliyoruz.

Bütün bu mantıklar, "geçici Mantık", "Modal Mantık", "Birinci dereceden Mantık", "Yüksek Mertebeden Mantık", birbirlerinden bağımsız mıdır yoksa bu gruptaki birkaç kişiyi anlamak için bu mantığın birkaçını anlamamız gerekir mi? Kısaca, onlar için önkoşullar neler olacak? (Bazı malzemeler hakkında da önerilerde bulunabilseydim harika olacak.)

Not: Nezaketiniz için bir ton teşekkürler

Temel olarak, bir mantık iki şeyden oluşur.

• Sözdizimi , neyin formül olup olmadığını belirleyen bir kurallar kümesidir.
• Anlambilim , hangi formüllerin "doğru" olduğunu ve "yanlış" olduğunu belirleyen bir kurallar bütünüdür. Bir model teorisyene göre , bu, formülleri doğru oldukları matematiksel yapılara bağlayarak ifade edilir; a geçirmez teorisyene dayanıklı kurallarına (teknikleri), seçilmiş bir dizi ile aksiyomların seçilmiş bir dizi sağlamasının için, gerçek tekabül.

Farklı mantıkların arasındaki fark, en basit şekilde, sözdizimi ve anlambilim seçiminde. Çoğu mantık, önermeli mantığın veya birinci dereceden mantığın uzantılarıdır . Bir anlamda, bu uzantıları mantığa "daha fazla özellik eklemek" olarak görebilirsiniz. Örneğin, zamansal mantık zamanla değişebilen gerçeklerle ilgilidir.

$\varphi$$t$$t$$\varphi$$t$

Hemen hemen tüm mantıklar önermeli ve birinci dereceden mantığa dayandığından, ilk önce bunları öğrenmenizi tavsiye ederim.

Bilgisayar bilimi, matematik ve fizik gibi alanlar nispeten iyi organize edilmiş olsa da, Mantık kaotik bir tarihe sahiptir. Örgütlenmesi gerçekten kafa karıştırıcı olduğundan, alanın yoğun yapısını anlamak için bazı tarihler okumak önemlidir.

Seçmeniz gereken yol, geçmişinize ve amaçlarınıza bağlı olacaktır .

Mantık nedir?

1. Geleneksel bakış açısı bir mantığın biçimsel bir dili (sözdizimi), anlambilimsel (dış anlam, programların yorumlayıcılarını düşünmesi) ve diğerlerinden ifadelerin çıkarılması için kurallar dizisini içeren resmi bir sistem olduğunu söyler. programların azaltılması). Bir mantık, salt bir matematiksel nesne olarak görülür.

2. Modern bakış açısı, ünlü Curry-Howard izomorfizmi aracılığıyla bir mantığın tutarlı bir tip sistem olduğunu söylüyor (ispatlar programlar ve tipler formüldür). Daha doğrusu, kesme ortadan kaldırma teoreminin ve Church-Rosser teoreminin / birleşme teoreminin tadını çıkartan bir çıkarım kuralları sistemi, temel programlama sisteminin iyi davranacağını ima eder.

3. $p, q$

   • $P, Q$$P(x_1, ..., x_n)$$Q(x_1, ..., x_n)$
   • İkinci mertebeden bir mantıkta, yüklemler için değişken birinci mertebedenleri alan fonksiyonlar haline gelir. Argüman olarak birinci dereceden fonksiyonları alan fonksiyonlar gibi davranırlar. Örneğin, yüklemler üzerinde tahminler ve niceliklendirme yapabiliriz.
   • Üçüncü dereceden vb. Aynı muhakeme. Yüksek dereceden mantık, herhangi bir emri kabul eder. İşlev işlevlerinin işlevlerini vb. Argüman olarak alan işlevlere sahip Haskell ve OCaml'ı düşünün .

4. Genel olarak, bir mantığın ne olduğu hakkında bir fikir birliği yoktur. Bazı filozoflar, tutarlı bir temel programlama sistemine sahip olmayan sistemler kullanırlar. Aslında, Mantık'ı kullanan her alanın kendi mantık anlayışı olduğunu söyleyebilirim. Ve çoğu matematikçi muhtemelen bir mantığın ne olduğunu umursamıyor.

Alanın yapısı

Mantık tarihi çok büyük, bu yüzden sadece alanın yapısını vereceğim. Formal mantık alanı, ikiye ayrılır: felsefi, matematiksel ve hesaplamalı kullanım. Formal mantık 19-20 yüzyılda başlar.

• Önce teklif mantığı ve birinci dereceden mantığı incelemelisiniz . En standart olanlar onlar. Antik Yunan zamanının eski mantığına biçimsel / matematiksel bir hesap vermek için yaratılmışlardı.

  • Model teorisi (anlambilim), matematiksel yapıları mantık perspektifinden inceleme
  • İspat teorisi (sözdizimi) bağımsız olarak matematiksel bir nesne olarak ispatları inceler.

• İkinci dereceden mantık, önermeli mantığın bir uzantısı olan birinci dereceden mantığın bir uzantısıdır. Bu özellikle ilginçtir, çünkü aritmetik ikinci sırada "yaşar" (indüksiyonla yapılan tahminleri tahmin eder). Benzer şekilde, topoloji "üçüncü dereceden" yaşar (kendilerini öngören kümeler üzerinde tahmin eder).

• Sonra mantığı ikiye bölen LEJ Brouwer geldi :

  • $A$$A \lor \lnot A$
  • Sezgisel Mantık , dışlanmış orta ve tüm eşdeğer yasaları reddeden bir tür mantıktır (burada açıklayamayacağım teknik ve felsefi nedenlerle).

• Başka bir bağlamda, filozoflar biçimsel mantıkla ilgilenmeye başladılar ve felsefi sorulara (analitik felsefe) cevap verebileceklerini düşündüler. Kendi bağımsız mantık sistemlerini (parantezli mantık, alaka düzeyi mantığı ve deontik mantık, zamansal mantık, epistemik mantık gibi modal mantıkları) yaptılar. Modal mantık, doğrulukla değil, olasılık, zorunluluk, zaman, bilgi gibi modalitelerle çalışır. Hepsi yukarıdaki mantıktan bağımsızdır.

• $\lambda$

• Bilgisayar bilimcileri, sistemlerin sağlamlığını resmi bir şekilde doğrulamak ve ispat etmek istediler ve modal mantığın konuyla ilgili olduğu görülüyor. Bugün sistemler üzerinde düşünmek için zamansal mantık ve modal mantık kullanıyorlar (bakınız: resmi yöntemler, model kontrolü). Sistemler Otomat Teorisi (örneğin) ile modellenmiştir ve mantıksal araçlar kullanılarak doğrulanmıştır. Doğrusal Temporal Mantık (LTL) ve Hesaplamalı Ağaç Mantığı (CTL) yol açtı .

• Aynı motivasyonda bilgisayar bilimcileri, programların sağlamlığını ve ispatını doğrulamak istedi. Bu nedenle , zorunlu programlar ve daha genel olarak Ayırma Mantığı için Hoare Mantığını icat ettik .

• Çalışarak, Curry-Howard izomorfizmi, yeni bir mantık ortaya çıktı: Doğrusal Mantık , provalarda ve programlarda çalışan silme ve çoğaltma olarak görülen yapısal kuralları (zayıflama ve daralma) kısıtlayan. Gerçeğin potansiyel sonsuzluğu açıklanmıştır. Bu mantığın, klasik ve sezgisel mantığın bir genellemesi olduğu ve hesaplama ve prosedürel bir paradigmaya dayanarak yepyeni bir Mantık anlayışı sağladığı görülmektedir. Çoğunlukla bilgisayar bilimcileri tarafından çalışılmaktadır.

• Doğrusal Mantık aynı zamanda Mantığın yapısal kurallarını reddeden Yapısal mantık dediğimiz şeyden de gelir . İlgili Mantık ve Afin Mantığı bu tür sistemlere örnektir.

Özet ve yol seçimi

• Herhangi bir mantık olabilir: önermeli mantık, birinci dereceden, ikinci dereceden, üçüncü dereceden, ..., daha yüksek dereceden (her biri öncekini genişleten).

• Mevcut sistemlerin çeşitlendirmelerini yapmak için kural ekleyebilir veya çıkarabiliriz:

  • Dışlanan-orta: sezgisel mantığı kaldır
  • Modalities ekle: modal mantık
  • Çelişki ve zayıflamayı sınırla: doğrusal mantık
  • Daralma kaldırmak: affine mantığı
  • Zayıflatmayı kaldırın: ilgili mantık
  • Olumsuzluğu farklı bir şekilde ele al: Paraconsistent mantığı

• İlk önce teklif ve birinci mertebeden mantığı ve şunları öğrenin:

  • matematikle ilgileniyorsanız model teorisi, ikinci dereceden, üst dereceden
  • ispat teorisi, sezgisel mantık, ikinci dereceden, bilgisayar biliminin temeli ile ilgileniyorsanız doğrusal mantık
  • Sistem ve programların doğrulanmasıyla ilgileniyorsanız, modal mantık, hoare mantığı, ayırma mantığı
  • modal mantık, genel olarak klasik olmayan mantık, felsefe ile ilgileniyorsanız

Kaynaklar (Kitaplar)

Mümkünse referansları karıştırmanızı şahsen öneririm.

• Matematiksel Mantık (Chiswell & Hodges) : Başlamak için çok özlü ve basit bir kitap.
• Mantık'taki ilk kurs (Hedman) : biraz yukarıdaki gibi fakat daha fazla ayrıntı ver ve hesaplanabilirliği hesaba kat.
• Pratik Mantık ve Otomatik Muhakeme El Kitabı (Harrison) : Mantıkla ilgili bazı kavramların pratikte nasıl uygulandığını anlamak istiyorsanız. Otomatik muhakeme için daha odaklı.
• Bilgisayar Biliminde Mantık (Huth ve Ryan) : çok açık ve bilgisayar bilimcilerine yönelik (program ve sistemlerin doğrulanması, Hoare mantığı, modal mantığın pratik kullanımı, zamansal mantık, model kontrolü).
• İspat Teorisine Giriş (Buss) : İspat teorisine giriş. Bazı genel mantıklardan sonra bunu okumak daha iyi olmalı.

Referanslar (Wikipedia)

• https://en.wikipedia.org/wiki/Philosophical_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Curry%E2%80%93Howard_correspondence
• https://en.wikipedia.org/wiki/Non-classical_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Modal_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Model_theory
• https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_theory
• https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_temporal_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Computation_tree_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Hoare_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Substructural_logic

Bu mantıkların tümü Matematiksel Mantığın altına geliyor .

Matematiksel mantık genellikle küme teorisi, model teorisi, özyineleme teorisi ve ispat teorisi alanlarına bölünür. Bu alanlar mantık, özellikle birinci dereceden mantık ve tanımlanabilirlik ile ilgili temel sonuçları paylaşır. Bilgisayar bilimlerinde (özellikle ACM Sınıflandırmasında) matematiksel mantık bu makalede ayrıntılandırılmayan ek konuları içerir; bunlar için bilgisayar bilimlerindeki mantığa bakınız .

Ayrıca, genel anlamda mantığı bilmek istiyorsanız, bu makale faydalı olabilir.

Asıl olarak "kelime" veya "neyin konuşulduğu" anlamına gelen, ancak "düşünce" veya "sebep" anlamına gelen mantık, gerçekliğin en genel yasalarıyla ilgilenen bir konudur ve şimdi genel olarak sistematik bir çalışmadan oluşur. geçerli çıkarım şeklinde. Geçerli bir çıkarım, çıkarımın varsayımları ile sonucu arasında belirli bir mantıksal destek ilişkisinin olduğu bir çıkarımdır.