Hayali Köklerle Karakteristik Polinom Yoluyla Nüksleri Çözme

Algoritma analizinde genellikle yinelemeleri çözmeniz gerekir. Master Teorem, ikame ve yineleme yöntemlerine ek olarak, karakteristik polinomları kullanan bir tane vardır .

Ben sonucuna varmışlardır ki bu karakteristik polinom olan hayali , yani kökler ve . O zaman kullanamam $x^2 - 2x + 2$ $x_1 = 1+i$ $x_2 =1-i$

$\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n$

çözüm elde etmek için, değil mi? Bu durumda nasıl ilerlemeliyim?

algorithms algorithm-analysis recurrence-relation

— Koray
kaynak

Hoşgeldiniz! Tarafından LaTeX'i kullanabileceğinizi unutmayın $...$ .

— Raphael

Kafam karıştı. Eminim denklemleri değil, karakteristc polinomlarını kullanarak yöntemi kastediyorsunuzdur . Nedir

j

$j$ ? Verdiğiniz denklemin çözümleri hayali değil, sadece mantıksızdır. "[Polinom] 'u uygula" ile ne demek istiyorsun?

— Raphael

Fizikçinin yanlış yazım alışkanlığını benimsedi

i

$i$ .

— Jeff

Tabii ki yapabilirsin. İlk olarak, çözüm yeniden meydana gelmeyi tatmin eder. İkincisi, çözüm alanı 2 boyutundadır.

— Strin

Evet, çözüm aslında $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ bazı sabitler için $\alpha$ ve $\beta$ temel vakalar tarafından belirlenir. Üs vakaları gerçekse, o zaman (tümevarım yoluyla) $T(n)$ tüm tamsayı için iptal edilecek $n$ .

Örneğin, tekrarlamayı düşünün $T(n) = 2T(n-1) - 2T(n-2)$ , baz kasalı $T(0)=0$ ve $T(1)=2$ . Bu nüksün karakteristik polinomu $x^2-2x+2$ , yani çözüm $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ bazı sabitler için $\alpha$ ve $\beta$ . Taban kutularını takmak bize

T (0) = α (1 + i)^{0} + β (1 - i)^{0} = α + β = 0 T (1) = α (1 + i)^{1} + β (1 - i)^{1} = (α + β) + (α - β) i = 2

$T(0) = \alpha(1+i)^0 + \beta(1-i)^0 = \alpha+\beta = 0\\ T(1) = \alpha(1+i)^1 + \beta(1-i)^1 = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)i = 2$ Hangi ima

α + β = 0 α - β = - 2 i

$\alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = -2i$ Hangi ima

α = - i

$\alpha = -i$ ve

β = i

$\beta = i$ . Yani çözüm

T (n) = i \cdot ((1 - i)^{n} - (1 + i)^{n}) .

$T(n) = i\cdot ((1-i)^n - (1+i)^n).$

Bu fonksiyon arasında salınım $\sqrt{2}^n$ ve $-\sqrt{2}^n$ 4'lük bir "dönem" ile. $T(4n) = 0$ hepsi için $n$ , Çünkü $(1-i)^4 = (1+i)^4 = -4$ (ve temel davayı seçtiğim için $T(0)$ dikkatle).

— JeffE
kaynak

Karakteristik polinomun hayali köklerinin (eğer doğru hatırlarsam, dizinin üretme işlevinin egemen tekillikleri), bir yerlerde negatif unsurlar ima ettiğini hatırlıyorum. Bu doğru mu? Öyleyse, algoritma analizinde bu durumla asla karşılaşmamanız gerektiğini söylemek güvenlidir.

— Raphael

Şart değil. Karakteristik fonksiyonun kökleri

2

$2$ ,

1 + i

$1+i$ , ve

1 - i

$1-i$ , örneğin, işlev etrafında salınacaktır

α 2^{n}

$\alpha 2^n$ bazı

α

$\alpha$ , ancak (uygun temel durumlarda) her zaman pozitif olacaktır.

— JeffE