Tüm MST minimum yayılma ağaçlarına Kruskal ve Prim tarafından ulaşılabilir mi?

Bunun doğru olduğuna inanıyorum ama ikisi için de resmi bir kanıt elde edemedim. Ancak Kruskal'ın algoritması uygulanarak herhangi bir minimum yayılma ağacına erişilebileceği doğru mu? Benzer şekilde, bu Prim'in algoritması için de geçerli mi?

DÜZENLEME: Daha kesin olmak gerekirse, bağlı, yönlendirilmemiş, ağırlıklı bir grafik için bir MST verilip verilmediğini bilmek istiyorum, bu MST'yi oluşturan Kruskal veya Prim kullanarak bir dizi adımın garanti edildiği garantidir. Aynı ağırlıkta birden fazla kenar olduğunda Kruskal için farklı seçenekler vardır. Prim için de benzer şekilde.

Tarafından belirtildiği gibi Raphael'in yorumun ve j_random_hacker yorumuna cevap olumludur. Aslında, herhangi bir MST'ye bazı küçük istisnalar dışında herhangi bir MST algoritması tarafından erişilebilir .

grafiği için , her iki ağırlık işlevinin neden olduğu kenarlardaki katı zayıf sıralamayı aynı katıya genişletebilirsek, tüm kenarlardaki (gerçek sayılara) iki ağırlık işlevi (zayıf) karşılaştırmaya uyumlu (birbirine ) olarak tanımlanır. Genel sipariş toplamı. Yani, her ağırlık fonksiyonuyla tutarlı bağlantı koparma kuralları tasarlayabiliriz, böylece herhangi bir iki kenarın bir ağırlık fonksiyonu ile karşılaştırılması sonucu ve bağ kırma kuralları diğer ağırlık fonksiyonu ve bağının sonucu ile aynı olur. kurallar.$G$

Lemma 1 : ve w 2'nin iki ağırlık fonksiyonu olmasına izin verin . Aşağıdaki beş ifade birbirine denktir.$w_1$$w_2$

1. ve w 2 karşılaştırma uyumludur.$w_1$$w_2$
2. Kenarların herhangi bir set ise, kenar hafif tarafından bir ortak olduğu tarafından w 2 .$w_1$$w_2$
3. Kenarların herhangi bir set ise, ortak bir ağır ayrıt tarafından w 2 .$w_1$$w_2$
4. Ağırlık işlevi mevcuttur öyle ki farklı kenarlarına farklı ağırlıkları tayin w 3 karşılaştırma uyumlu olan ağırlık , 1 ve w 2 .$w_3$$w_3$$w_1$$w_2$
5. $e_1$$e_2$$e_1$$e_2$$e_1$$e_2$

Lemma 1 kanıtı kolay bir egzersiz olarak bırakılmıştır.

$w_1$$w_2$$e_1\lt_{w_1}e_2$$e_1\lt_{w_2}e_2$

$w_2$$w_1$

$G$

$G$$G$

Karşılaştırma uyumlu bir MST algoritması tüm MST'leri bulabilir.

$m$$G$$w_1$$m$$w_2$$e_1$$e_2$$w_1$$e_1$$e_2$$w_2$$w_1$$w_2$$m$$w_2$$w_2$$m$$w_1$$w_2$$m$$w_2$$m$$w_1$

Her MST algoritması karşılaştırma uyumludur

Yukarıdaki teklif kulağa aşırı geliyor. Her MST algoritması ile, yanlış veya gereksiz adımları olan görünüşte patolojik olanlar hariç, gördüğüm herhangi bir genel karşılaştırma tabanlı MST algoritmasını kastediyorum. Karşılaştırma uyumlu bir MST algoritması tüm MST'leri bulabildiğinden, her MST algoritması tüm MST'leri bulabilir. Özellikle, dört klasik MST algoritmasının her biri , yani Borůvka, Prim, Kruskal ve ters silme algoritmaları tüm MST'leri bulabilir.

İşte karşılaştırma ile uyumlu üç MST algoritması daha.

• ağır kenar silme algoritması. Tüm kenarlarla başlayın. Bir döngüyü tekrar tekrar bulun ve hiçbir döngü kalmayana kadar en ağır kenarlarından birini çıkarın.
• add-heavy-edge-edge algoritması. Boş setle başlayın. Tüm kenarlardan tekrarlayın. Her kenar eklenir ve bir döngü oluşursa, en ağır kenarlarından birini çıkarın.
• $T$$T$$e$$T$$t$$e$$t$$T$$e$$T$$T$

Aşağıdaki MST algoritması karşılaştırma uyumlu değildir.

• $S$$\{ab,bc,cd\}$$a,b,c$$ab$$1$$bc, cd, db$$2$

Lütfen yukarıda belirtilen sekiz MST algoritmasının hepsinin karşılaştırma tabanlı olduğunu unutmayın.

Karşılaştırma uyumlu bir algoritma nasıl gösterilir?

$G$

• $F$$G$$F$
• $S$
• $S$$F$
  • $S$
  • $S$
  • Bu kenar iki farklı ağacı birbirine ormanına ekleyin$F$
• $F$

$w_1$$w_2$$G$$S$$w_1$$w_2$

Bir algoritma, gevşek terimlerle üç tür adımda açıklanabiliyorsa karşılaştırmaya uyumludur.

1. kilo içermeyen bir şey yapın.
2. belirli bir kenar kümesinde minimum ağırlığı olan bir kenar seçin
3. belirli bir kenar kümesinde maksimum ağırlığı olan bir kenar seçin

Bu yeterli koşul Borůvka, Prim, Kruskal, ters silme, silme-ağır kenar ve ağır-kenar eklememe algoritmasını kapsar. Bu yeterli koşula uymak için, ulaşılabilir MST setini etkilemeden bir algoritmanın belirli açıklamalarını değiştirmemiz gerekebileceğini unutmayın. Dereceye eğilimli Kruskal'ın algoritmasının karşılaştırma uyumlu olması dışında, bu yeterli koşulun gevşek terimlerle tanımlandığını vurgulayayım.