Sonsuz büyük zinciri

İlk olarak, işleri açıklığa kavuşturmak için big tanımını yazayım. $O$

$f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ , $0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

Diyelim ki sınırlı sayıda fonksiyonumuz var: satisftying: $f_1,f_2,\dots f_n$

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

geçişliliği ile şunu elde ederiz: $O$ $O(f_1)\subseteq O(f_n)$

Sonsuz bir zincirimiz varsa bu geçerli midir? Başka bir deyişle, ? $O's$ $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$

Neler olduğunu hayal etmekte zorlanıyorum.

asymptotics landau-notation

— saadtaame
kaynak

Yanıtlar:

Öncelikle "sonsuz bir zincirimiz varsa bu geçerli mi?" İle ne demek istediğimizi açıklığa kavuşturmalıyız. Bunu fonksiyonlarının sonsuz dizisi olarak yorumlarız, böylece tüm için . Böyle bir dizinin son bir işlevi olmayabilir. $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$ $i$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$

işlevlerin sınırına bakabiliriz, yani . Ancak, sınırın mevcut olmaması mümkündür. Ve var olsa bile . Örneğin, işlevlerinin sırasını düşünün . Her biri için , ve bu nedenle . Ancak dolayısıyla . $f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$ $f_1(n) = O(f_\infty(n))$ $f_i(n) = \frac{n}{i}$ $i$ $f_i(n)=\Theta(n)$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ $f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$ $f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

Öte yandan , fonksiyonların limit sınıfına eşit olması gerekmeyen sınıfların dizisinin sınırına bakabiliriz . var , bu nedenle ve tüm . Üst sınır, sonsuz sıklıkta meydana gelen tüm öğeleri (bu durumda işlevler) içerir ve sınır alt , bazıları için oluşan tüm öğeleri içerir. $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$ $\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$ $f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$ $j$ $\mathcal O(f_i), i \ge n_0$ $n_0$ (öğeye bağlı olabilir). Sınıfların dizisi monoton olarak arttığından, her ikisi de mevcuttur ve eşittir. Bu kullanımını haklı çıkarır . $\lim$

— frafl
kaynak

İki seri vardır: işlevlerden biri (yakınsak olabilir veya olmayabilir) ve kümelerden biri (burada her küme bir öncekinin süper kümesidir; bu nedenle bu seri yakınsar-bkz. Kümeler için lim inf ve lim sup tanımları) . İlk kısım kısmı olmadan soruya cevap , ikinci kısım kısmı negatif olarak cevaplar ( bir çeşit limes ise).

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

Terimlerin sayısı sayılamazsa ne olur? :)

— SamM

Bazı iyi siparişleri kullanarak veya seriyi daha sürekli bir şeyle değiştirmek ister misiniz? :)

— frafl

@Kaveh Çok teşekkürler, şimdi çok mantıklı. Sınırların kullanımını ve bu lim inf şeyin ne anlama geldiğini haklı gösterebilirseniz, bu benim anlayışımı tamamlayacaktır.

— saadtaame

@saadtaame: Belki de yukarıdaki soru hala ne bilmek istediğinizi sormadığı için mi? Doğru hatırlıyorsam, önerilen bir yorum nedeniyle . Eğer bir bağlam sağlarsanız, belki birisi tekrar soruyu yeniden ifade edebilir.

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

Evet, sonsuz bir zincire sahip olmak mümkündür.

Eminim bazı örnekleri zaten biliyorsunuzdur: Burada sonsuz bir zinciriniz var: büyüyen derece polinomları. Daha ileri gidebilir misin? Elbette! Üstel herhangi bir polinomdan daha hızlı büyür (asimptotik olarak). Ve elbette devam edebilirsiniz:

Ö (x) \subseteq Ö (x^{2}) \subseteq ... \subseteq Ö (x^{42}) \subseteq ...

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$

Ö (x) \subseteq Ö (x^{2}) \subseteq ... \subseteq Ö (x^{42}) \subseteq ... Ö (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$

O (e^{x}) \subseteq O (x e^{x}) \subseteq O (e^{2 x}) \subseteq O (e^{e^{x}}) \subseteq \dots

$O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

Diğer yönde de sonsuz bir zincir oluşturabilirsiniz. Eğer daha sonra (yaklaşık burada karmaşıklık fonksiyonlarının asimptotikler tartışmak için, pozitif fonksiyonların yapışmasını). Yani örneğin: $f = O(g)$ $\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

Ö (x) \subseteq Ö (x^{2}) \subseteq ... \subseteq Ö (\frac{e^{x}}{x^{2}}) \subseteq Ö (\frac{e^{x}}{x}) \subseteq Ö (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$

Aslında, işlevlerinin herhangi bir zinciri göz önüne alındığında daha hızlı büyüyen bir işlevi . (Ben 'nin den 'ya ait fonksiyonlar olduğunu varsayıyorum .) İlk olarak, . kümesi olabileceğinden bu işe yaramayabilir . Ancak sadece asimptotik büyümeye müdahale ettiğimizden, küçük başlamak ve giderek büyümek için yeterlidir. Sınırlı sayıda fonksiyondan maksimum değeri alın . $f_1, \ldots, f_n$ $f_\infty$ $f_i$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}_+$ $f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ $\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

f_{\infty} (x) = maksimum {f_{n} (x) | 1 \leq n \leq N-} Eğer N- \leq x < N- + 1

$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if $N \le x \lt N+1$}$ Sonra herhangi bir , , çünkü . Kesinlikle daha hızlı büyüyen bir işlev istiyorsanız ( ), .

N

$N$

f_{N} \in O (f_{\infty})

$f_N \in O(f_\infty)$

\forall x \geq N, f_{\infty} (x) \geq f_{N} (x)

$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$

f_{\infty} = o (f_{\infty}^{'})

$f_\infty = o(f_\infty')$

f_{\infty}^{'} (x) = x \cdot (1 + f_{\infty} (x))

$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$

— Gilles 'SO- şeytan olmayı bırak'
kaynak

Tüm bu cevaplar (sizin ve diğeri), sonsuzlukta ne olduğunu bildiğimizi varsaymaya dayanıyor, benim için tatmin edici değiller, OP hakkında bilmiyorum (neden sonsuz boyutta kapalı bir grubumuz olmamalıyız) ?)

@SaeedAmiri Üzgünüm, yorumunuzu anlamıyorum: “sonsuzlukta neler olduğunu biliyoruz, onlar benim için tatmin edici değil” ile ne demek istiyorsun?

— Gilles 'SO- kötü olmayı bırak'