Parite-L'den CNOT devrelerine log alanı azaltma?

Soru.

Makalelerinde dengeleyici devrelerinin Geliştirilmiş simülasyon , Aaronson ve Gottesman, istem bir CNOT devresi simüle olduğu ⊕L (logspace indirimleri altında) -tamamlamak. ⊕L'de bulunduğu açıktır ; sertlik sonucu nasıl tutulur?

Eşdeğer olarak: yinelenen matris ürünleri modulo 2'den, temel matrislerin (satır dönüşümlerini gerçekleştiren ters çevrilebilir matrisler) mod 2 yinelenen ürünlerine bir günlük alanı azalması var mı?

ayrıntılar

Bir kontrollü değil (veya CNOT ) işlemi formunun, tersine çevrilebilir bir Boole işlemdir burada sadecej^incibiti değiştirilir ve bu biraz eklenerek değiştirilir bir tat pozisyonları için, modulo 2saatvej. şeklinde yorum yaparsak görmek zor değil

{C N O T}_{h, j} (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j} \oplus x_{h}, \dots, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$

x_{h}

$x_h$

ℤ / 2ℤ üzerinde bir vektör olarak, bunun çapraz sıra üzerinde 1'ler ve tek bir çapraz çapraz konum ile bir matrisle temsil edebileceğimiz bir temel sıra dönüşüm modülo 2'ye karşılık geldiği. BirCNOT devresidaha sonra bu tür bir temel matrislerin bir üründen oluşan bir matris ürünüdür.

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$

Aaronson ve Gottesman'ın yukarıda bahsedilen makalesinde ( bu soruya çok tesadüfen , ⊕L'de simüle edilebilecek bir kuantum devresi sınıfı hakkında ), hesaplama karmaşıklığı hakkında bir bölüm vardır. Bu bölümün başlangıcına doğru, ⊕L'yi şu şekilde tarif ederler :

⊕L , belirleyici olmayan bir logaritmik uzay Turing makinesi tarafından çözülebilen, ancak kabul eden toplam yol sayısının tek olup olmadığını kabul eden tüm problemlerin sınıfıdır. Ancak, bilgisayar-bilimci olmayanlar için muhtemelen daha sezgisel olan alternatif bir tanım vardır. Bu, ⊕L'nin , polinom boyutlu bir CNOT devresini, yani tamamen NOT ve CNOT geçitlerinden oluşan, başlangıç durumuna | 0 ... 0⟩ etki eden simüle etmeyi azaltan bir sorun sınıfıdır. (İki tanımın eşdeğer olduğunu göstermek kolaydır, ancak bu, ilk önce olağan tanımın ne anlama geldiğini açıklamamızı gerektirir!)

Makalenin hedef kitlesi, önemli sayıda bilgisayar-bilimci içermediğinden, elide olma isteği mantıksız değildir; Birisinin bu denkliğin nasıl tuttuğunu açıklayabileceğini umuyorum.

Açıktır ki, bu gibi bir matris ürün taklit yapılabilir ⊕L için tekrarlanan matris ürünleri katsayıları (logspace indirimleri altında) tam bir problemdir (mod 2), değerlendirme özel bir durum olarak ⊕L . Ayrıca, CNOT matrisleri sadece temel sıra işlemlerini gerçekleştirdikçe, ters çevrilebilir herhangi bir matris CNOT matrislerinin bir ürünü olarak ayrıştırılabilir. Ancak, ters çevrilebilir bir matris mod 2'nin bile bir günlük boşluğu azaltımı ile bir CNOT matrisleri ürününe nasıl ayrıştırılacağı açık değildir . Yorumlar Emil Jeřábek tarafından belirtildiği gibi (Nitekim, işlem belirleyicilere Gauss eleme yeterli bir olan, 2 mod ⊕L Komple sorun: ayrıştırma ile doğrudan saldırısı bu yüzden , örneğin temel matrislerin ürünleri olarak tersinir matrisler L = unlessL olmadıkça günlük alanında mümkün görünmemektedir .) Tersinir olmayan matris ürünlerinden hiçbir şey söylememek. Bu yüzden biraz daha akıllı bir azaltma gerekli görünüyor.

Umarım birisi bu azalmanın bir taslağını veya bir referans sağlayabilir ( örneğin , eğer basitse, bunun bir egzersiz olduğu bir metin).

— Niel de Beaudrap
kaynak

2

$2$

2

$2$

@ EmilJeřábek: Yorumunu düşünüyorum ve bunun CN = devrelerini simüle etmenin L = ⊕L olmadığı sürece ⊕L için tam olmadığını ima edip etmediğini görmeye çalışıyorum . (Bir matrisin bir ürününü veya kimlik matrisine sahip tek bir matrisin bir ürününü düşünün!) Bu neredeyse çok kolay görünüyor; bir şey mi kaçırıyorum? Sanırım belki de sadece birebir indirimleri dışlıyor.

— Niel de Beaudrap

Bence bu kadar kolay değil. ⊕L bir karar problemleri sınıfıdır, oysa F_2 üzerinde matris çarpımı bir fonksiyon problemidir. Matris çarpımının versionL versiyonu, sonucun belirli bir bitini istemektir (örneğin, matrisin sol üst girişi). Her iki dizinin ürünlerinin aynı sol üst elemana sahip olması için bir dizi matris alan ve bir dizi temel matris üreten bir günlük alanı algoritması olabilir mi? Bu gerçek Gauss yok edilmesinden çok daha zayıftır. Aslında, Aaronson ve Gottesman iddiaları bana mantıklı geliyor, ancak bunu nasıl kanıtlayacağımdan emin değilim.

— Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek: decisionL karar problemlerinin çoğunun DET için doğal olan münferit problemlerin katsayılarını doğrulamaya dayalı olduğunu düşünüyorum (işlev problemlerinin ⊕L-tamamlanmış olarak konuşulması yaygındır , ancak terminoloji); ve matris ürünleri için sezgim, herhangi bir tek katsayı için, iki matris ürününün bu katsayı için oldukça kesin olamayacağınız şekilde eşit olması gerektiği için geçici olarak düzenlenmesinin yeterince karmaşık olmasıdır. diğer tüm katsayıların da aynı fikirde olduğunu kabul eder.

— Niel de Beaudrap

Anladım: bir günlük alanı makinesinin kabul yollarını saymak, dairesel olmayan bir grafikte, üst üçgen matrislerin çaprazda 1 ile çarpılmasıyla temsil edilebilen sayım yollarına eşittir . İkincisi, Gauss yok etmeden, basit bir şekilde, temel matrislerin bir ürünü olarak ifade edilebilir.

— Emil Jeřábek 3.0

$\oplus L$ $2$ $n$ $s$ $t$ $G=(V,E)$

$G'=(V',E')$ $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ $G'$

$G'$ $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ $w_m=t'$ $M$ $G'$ $M$ $1$ $n$ $s'$ $t'$ $M^n$

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$

2

$2$

F_{2}

$\mathbb F_2$

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$

— Emil Jeřábek 3.0
kaynak

# L

$\#L$

F_{2}

$\mathbb F_2$

⊕L tamlığının kanıtlanması daha zor olan matris gücünden geçmeniz gerekmez. ⊕L, mod 2'nin belirleyici olmayan bir günlük alanının kabul yollarını sayarak tanımlanır Turing makinesi (polinom zaman saati ile, sayının sonlu olması garanti edilir), bu da konfigürasyon grafiğindeki sayım yollarıyla aynıdır. Makinenin (saatin süresi doluncaya kadar bir döngüye girmesini ve ardından sabit bir kabul durumuna girmesini sağlayarak yolların hepsinin aynı yapılandırmada sona ereceğini ve yolların aynı uzunluğa sahip olmasını düzenlemek kolaydır).

— Emil Jeřábek 3.0

Sanırım kağıt yapısındaki fikirlere ve Buntrock ve ark. , Asiklik bir digrafide keyfi uzunluktaki yolların sayısı ve buna doğal olarak bağlı olan matris ürünleri ve güçler gibi DET- benzeri problemler açısından düşünmeye çok daha alışkınım .

— Niel de Beaudrap