Grafik renklendirme sorunları zaten çoğu insan için yeterince zor . Buna rağmen, zor olmalıyım ve hipergraf renklendirme ile ilgili bir sorun sormam gerekecek.
Soru.
K-düzgün hipergraflar için yaklaşık olarak optimal kenar renklendirme bulmak için hangi etkili algoritmalar vardır?
Detaylar ---
Bir k-muntazam hipergrafı, her bir kenarın tam olarak k köşeleri içerdiği bir kesittir; basit bir grafiğin olağan durumu k = 2'dir. Daha doğrusu, iki kenarın aslında aynı köşe setine sahip olabileceği etiketli k-üniform hipergraflarla ilgileniyorum ; ama kenarları k − 1 köşeden kesişmeyen k-düzenli hipergraflarda bir şeylere razı olacağım.
Hipergrafların kenar renklendirmesi, grafiklerde olduğu gibi aynı rengin kenarlarının kesişmediği bir renktir. Kromatik indeks χ '(H), her zamanki gibi gereken minimum renk sayısıdır.
Deterministik veya randomize polinom zaman algoritmaları hakkında sonuçlar istiyorum.
Ne verimli bir şekilde bulunabilir ve gerçek kromatik endeksi χ '(H) --- arasında en iyi bilinen yaklaşım faktörü / katkı-boşluk arıyorum --- ya da bu konuda, parametreler açısından en verimli şekilde elde edilebilir sonuç maksimum tepe noktası Δ (H), hipergrafın boyutu vb.
Düzenleme: Suresh aşağıdaki hipergrafik duals hakkında açıklamalar tarafından istendi, ben bu sorunun bir k-normal hipergraf güçlü bir köşe renklendirme bulma sorununa eşdeğer olduğunu belirtmeliyim: yani, her köşe k farklı kenarlara aittir [ama kenarları artık farklı sayıda köşe noktası içerebilir] ve bitişikteki iki köşe farklı renklere sahip olacak şekilde bir tepe rengi renklendirmesi istiyoruz. Bu reformülasyonun da bariz bir çözümü yok gibi görünüyor.
Uyarılar
Grafikler söz konusu olduğunda, Vizing Teoremi sadece bir grafik G için kenar kromatik sayının ya Δ (G) ya da Δ (G) +1 olduğunu garanti etmekle kalmaz, standart kanıtları da Δ (G bulmak için etkili bir algoritma sağlar ) + 1-kenar-boyama. Eğer k = 2 vakası ile ilgilenseydim bu sonuç benim için yeterince iyi olurdu; ancak, özellikle k> 2 keyfi ile ilgileniyorum.
En fazla t köşede kesişen her kenar gibi kısıtlamalar eklemezseniz, hipergraph kenar renklendirme üzerindeki sınırlarla ilgili iyi bilinen bir sonuç yok gibi görünüyor. Ama χ '(H)' nin kendisinde sınırlara ihtiyacım yok; sadece "yeterince iyi" bir kenar renklendirme bulan bir algoritma. [Ayrıca hipergraflarıma k-uniform olmak dışında herhangi bir kısıtlama koymak istemiyorum ve belki de maksimum tepe derecesine sınırlar, örneğin bazı f ∈ ω için Δ (H) ≤ f (k) (1) .]
[ Zeyilname. Şimdi MathOverlow'da yapıcı veya başka bir şekilde kromatik sayıdaki sınırlar hakkında ilgili bir soru sordum .]