Kalınlık ve Paketleme

9

Benim sorum biraz belirsiz. Merak ediyorum (ve nasıl), treewidth kavramını grafiklerde paketleme sorunlarına uygulayabilir miyiz merak ediyorum.

Bu konudaki geçmiş araştırma çalışmalarının herhangi bir içgörüsünden veya referanslarından memnun olurum (onların bir ilişki olduğunu varsayarsak). Teşekkürler.

— Nikhil
kaynak

11

Bu soruyu iki farklı şekilde yorumlayabilirim:

1) Sınırlı üçlü genişlik grafiklerinde paketleme problemlerinin algoritmik özellikleri söz konusu olduğunda, Courcelle Teoremi her sabit $k$ Monadic İkinci Mertebeden Mantıkta ifade edilebilir problemleri en fazla trewidth grafiklerinde lineer zamanda çözebiliriz $k$ ( Sınırlı üçlü genişlik grafiklerinin algoritmik özellikleri hakkında bir inceleme için bkz. http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037 ). MSOL'de birçok paketleme problemi formüle edilebildiğinden, bu, Bağımsız Set, Üçgen Paketleme, Döngü Paketleme, herhangi bir sabit grafiğin paketleme tepe / kenar ayrık kopyaları, paketleme köşesi ayrık olmayan küçük modeller de dahil olmak üzere sınırlı üçlü genişlik grafiklerinde bu tür birçok sorunun izlenebilirliğini kanıtlar. Bazı sabit grafik H, vb. Ancak bu izlenebilirlik MSOL tarafından tanımlanabilir tüm sorunlara yayıldığı için, ambalajlamaya özgü değildir.

2) Ambalajlar ve trewidth arasındaki grafik-yapısal ilişkiler söz konusu olduğunda, aşağıdakiler ilgi çekici olabilir. Robertson ve Seymour'un çalışmaları sayesinde bir fonksiyonun olduğu bilinmektedir. $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ öyle ki en azından treewthth grafiği $f(r)$ içerir $r \times r$ küçük bir ızgara (orijinal bağlı $f$ Seymour ve Robertson tarafından verilen Thomas ile birlikte geliştirildi; en iyi akım için http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732 adresine bakın ). Dolayısıyla bir yapınız varsa $S$ öyle ki $S$ içine paketlenmiş olabilir $r \times r$ ızgara minör, o zaman büyük trewidth herhangi bir grafik $S$ . Örneğin, $r \times r$ ızgara (çift için) $r$ ) içerir $(r/2)^2$ tepe-ayrık döngüler, bir treewidth grafiği izler $f(r)$ en azından içerir $(r/2)^2$ ayrık döngüler.

— Bart Jansen
kaynak

Bart Bu alakasız olabilir, ancak grafik rekonstrüksiyonu ile ağaç genişliği arasında herhangi bir ilişki görüyor musunuz? Ayrıca prof makalenizin ücretsiz sürümüne bağlantınız var mı? (Sınırlı Treewidth'in Grafiklerinde Kombinatoryal Optimizasyon)

— Saeed

Treewidth kağıt Citeseer mevcuttur citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.2561 . Grafik rekonstrüksiyonuna gelince: tek bir tepe noktasını silerek elde edilen tüm altgrafların çoklu setine bakıldığında, orijinal grafiği yeniden oluşturmak istediğiniz işlemi mi kastediyorsunuz? Görünüşe göre Shiva Kintali, grafik rekonstrüksiyon varsayımının ikinci treididth için doğru olup olmadığı sorusunu araştırdı: cstheory.stackexchange.com/questions/5155/… .

— Bart Jansen

Teşekkürler bart, evet Shiva'nın sorusunu görüyorum, ama, Bir yıl önceydi, yeni bir sonuç olabilir, hepinize teşekkürler.

— Saeed

Shiva'nın web sitesinde "k-ağaçların ve düzenli grafik ağaçların yeniden yapılandırılması hakkında" ve "Yeni Yeniden Yapılandırılabilir Grafik Özellikleri" konusunda "pdf yakında çıkacak" notu ( cs.princeton.edu/~kintali/#proprecon) ). Teknolojinin mevcut durumunu sormak için doğrudan onunla iletişime geçebilirsiniz.

— Bart Jansen

Bu cevabın ardından, bir teçhizat sağlamak için gerekli treewthth için en iyi sınır

r \times r

$r \times r$ ızgara küçük Kawarabayashi ve Kobayashi tarafından iyileştirildi

2^{O (r^{2} \log r)}

$2^{O(r^2\log r)}$ içerisinde dx.doi.org/10.4230/LIPIcs.STACS.2012.278 , Seymour bir gelişme talep

2^{O (r \log r)}

$2^{O(r \log r)}$ Ağustos 2012'de

— Andras Salamon

7

Maksimum bağımsız set problemi bir paketleme problemidir (ayrık yıldızları paketleme olarak düşünebilirsiniz) ve çalışma süresi ile iyi bilinen bir algoritmaya sahiptir. $2^k \operatorname{poly(n)}$ en fazla treewidth içeren grafiklerde $k$ .

— Janne H. Korhonen
kaynak

Yanıtınız için teşekkürler Janne. MIS algoritmasının farkındayım. MIS dışında, diğer yapıların paketlenmesinde trewidth kavramı uygulandı mı? Ayrıca, MIS'i ayrık yıldızların ambalajı olarak düşünmeye tamamen ikna olmadım, lütfen bu konudaki amacınızı açıklayabilir misiniz? (hangi yıldız yapısını toplamaya çalışıyorsunuz, "ayrık yıldızlar" kavramı nedir)?

— Nikhil

1

Cevabı gönderirken düşündüğüm kadar basit değil. "Kenar ayrık yıldızların ambalajlanması" daha uygun olacaktır ve daha sonra yerleştirilen herhangi bir yıldızın mümkün olduğunca büyük bir dereceye sahip olması gerekir. Daha karmaşık paketleme problemlerine treewidth uygulandığını hatırlamıyorum.

— Janne H.Korhonen

1

Maksimum bağımsız set kesinlikle olağan terminolojide bir "paketleme problemidir"; paketleme probleminin bir başka örneği de maksimum eşleşmedir. (Tamsayı programları

— hazırlıyorlar

6

Bu konuda harika bir referans Bruce Reed'in aşağıdaki anket makalesidir.

Reed, B. (1997). Ağaç genişliği ve düğümleri: Yeni bir bağlantı ölçüsü ve bazı uygulamalar. Kombinatorik araştırmalar, 241, 87-162.

Son makalelerimden biri, bazı durumlarda treewidth ayrışma teoremleri aracılığıyla grid-minör teoreminin atlanmasına izin veriyor. Aşağıdaki makaleye bakın.

Büyük Üçgen Grafiği Ayrışmaları ve Uygulamaları http://arxiv.org/abs/1304.1577

— Chandra Chekuri
kaynak

5

Bu da belirsiz bir cevap. Sınırlı üçlü genişlik grafikleri için Erdos-Posa teoremine benzer bir dualite vardır. Bkz. Örneğin Fedor V.Fomin, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos: Küçük kapalı grafik sınıfları için Erdös-Pósa özelliğinin güçlendirilmesi. Grafik Teorisi Dergisi 66 (3): 235-240 (2011)

— R2-D2
kaynak