Mükemmel eşleşmeleri itiraf eden sayım kaynaklı alt yazıların hesaplamalı karmaşıklığı

Yönlendirilmemiş ve ağırlıklandırılmamış bir grafik ve eşit bir tamsayı göz önüne alındığında tepe noktalarının sayımının hesaplamalı karmaşıklığı nedir; öyle ki ve tepe kümesine sınırlı alt mükemmel bir eşleşme kabul ediyor? Karmaşıklık # P-tamamlandı mı? Bu problem için referans var mı? $G=(V,E)$ $k$ $S\subseteq V$ $|S|=k$ $G$ $S$

Sorunun sabit bir için kuşkusuz kolay olduğuna dikkat edin, çünkü boyutundaki tüm alt metinler zaman içinde sıralanabilir . Ayrıca, sorunun mükemmel eşleşme sayısını saymadan farklı olduğunu unutmayın. Bunun nedeni, mükemmel bir eşleşme kabul eden bir köşe kümesinin birden fazla sayıda mükemmel eşleşmeye sahip olabileceğidir. $k$ $k$ ${|V| \choose k}$

Sorunu belirtmenin başka bir yolu da şöyledir. Eşleşme, köşeleriyle eşleşirse eşleşmesi olarak adlandırılır . İki Eşleme ve ile eşleşen köşe kümeleri halinde `tepe-grubu-olmayan değişmez' olan ' ve aynı değildir. Toplam tepe-değişmeyen eşleşmelerinin toplam sayısını saymak istiyoruz . $k$ $k$ $M$ $M'$ $M$ $M'$ $k$

cc.complexity-theory co.combinatorics counting-complexity

— Ha
kaynak

olduğunda

k = \log n

$k=\log n$ , bu alt grupların sayısı

(\binom{| V |}{\log n}) \leq n^{\log n}

$\binom{|V|}{\log n}\leq n^{\log n}$ ve alt set tarafından oluşturulan grafiğin Tutte's kullanılarak mükemmel bir eşleşmeye sahip olup olmadığını kontrol etme karakterizasyonu

O (2^{\log n}) = O (n)

$O(2^{\log n})=O(n)$ zaman alır, dolayısıyla üstel zaman hipotezi yanlış olmadığı sürece NP tamamlanmış olması bile muhtemel değildir. Bu nedenle ilginç durum,

k = θ (\frac{n}{\log n})

$k=\theta(\frac{n}{\log n})$ olduğunda, bu durumda naif yaklaşım, #P tamlığını arıyorsanız,

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$ zaman alır.

— Sajin Koroth

@Sajin Koroth: Yorumunuzdaki son cümleyi takip etmiyorum. Örneğin, eğer k = √n ise, naif yaklaşım

2^{n^{Ω (1)}}

$2^{n^{\Omega(1)}}$ zaman alır ve bunun # P-tam olduğuna dair herhangi bir kanıt verdiğini sanmıyorum.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Evet haklısın. “ Naif yaklaşımın

zaman alacağı şekilde bir

seçmeliydim” olmalıydı .

k

$k$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Sajin Koroth,

@Sajin Koroth: Neden bir naif yaklaşım zaman alacak şekilde k değerini seçmeli ? Bunu yapmak muhtemelen zarar vermez, ama neden birisinin bunu yapması gerektiğini anlamıyorum.

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Tsuyoshi Ito

Görünüşe göre, sıralamadaki çoğu problem "insanın k büyüklüğündeki alt harfleri neden X özelliğine sahip olduğu" şeklinde görünüyor. sertler. "Bir kenarı" özelliği bile zordur ("Bir kenarı" çözdü "," düelloda "olan tam bir grafik olan" bir kenarı yoktur "... MAX CLIQUE'yi çözer). Bu gerçekten de “mükemmel bir eşleşmenin” aynı zamanda zor olacağına inanıyor, ancak bir kanıt bulmak şu anda zor.

— Mart'ta

Yanıtlar:

Sorun # P-tamamlandı. Aşağıdaki yazının 2. sayfasının son paragrafından itibaren:

CJ Colbourn, JS Provan ve D. Vertigan, Tutte polinomunun enine matroidler üzerinde hesaplanmasının karmaşıklığı, Combinatorica 15 (1995), no. 1, 1–10.

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/

— Ha
kaynak

Sorun bir FPTRAS'ı kabul ediyor. Bu, grafiğini alan algoritmasını , parametresini ve giriş olarak ve rasyonel sayılarını alır . Eğer sayısı Aradığınız -vertex setleri, daha sonra bir sayı üretir'öyle ki ve bunu , burada bazı hesaplanabilir işlevdir ve $\mathbb{A}$ $G$ $k\in \mathbb{N}$ $\epsilon >0$ $\delta \in (0,1)$ $z$ $k$ $\mathbb{A}$ $z'$

P (z^{'} \in [(1 - ϵ) z, (1 + ϵ) z]) \geq 1 - δ,

$\begin{equation} \mathbb{P}(z' \in [(1-\epsilon)z,(1+\epsilon)z]) \geq 1-\delta, \end{equation}$

f (k) \cdot g (n, ϵ^{- 1}, \log δ^{- 1})

$f(k)\cdot g(n,\epsilon^{-1},\log \delta^{-1})$

f

$f$

g

$g$ bazı polinom.

Bu Thm'den gelir. 3.1 in (Jerrum, Meeks 13) : of graphs özelliği göz önüne alındığında , yukarıdaki gibi aynı girişe sahip bir FPTRAS var, setin başlığına yaklaşıyor , Phi'nin hesaplanabilir, monoton olması ve minimum kenar grafiklerinin hepsinin sınırsız olması şartıyla. Her üç koşul da, , mükemmel bir eşleşme kabul etmenin graph özelliği ise geçerlidir. $\Phi$

{S \subseteq V (G) ∣ | S | = k \land Φ (G [S])},

$\begin{equation} \{S \subseteq V(G) \mid |S| =k \wedge \Phi(G[S])\}, \end{equation}$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

— Radu Curticapean
kaynak