P problemleri için yaklaşım algoritmaları

Biri genellikle NP-zor problemlere yaklaşık çözümlerin (garantili) yaklaştığını düşünür. P'de olduğu bilinen problemlere yaklaşma konusunda herhangi bir araştırma var mı? Bu, birkaç nedenden dolayı iyi bir fikir olabilir. Başımın üstünde, bir yaklaşım algoritması daha düşük bir karmaşıklıkla (ya da daha küçük bir sabit) çalışabilir, daha az yer kullanabilir veya daha iyi paralelleştirilebilir olabilir.

Ayrıca, zaman / doğruluk değişimlerini sağlayan programlar (FPTAS ve PTAS), P'deki büyük girdilerde kabul edilemez düşük sınırları olan problemler için çok çekici olabilir.

Üç soru: Bunu açıkça kötü bir fikir yapan eksik bir şey var mı? Bu algoritmaların teorisini geliştirmeye yönelik araştırma var mı? Eğer değilse, en azından, bu tür algoritmaların bireysel örneklerini bilen biri var mı?

Jukka'nın işaret ettiği gibi, hesaplama geometrisi polinom zamanında çözülebilecek zengin bir problem kaynağıdır, ancak hızlı bir şekilde yaklaşmak istiyoruz. Klasik "ideal" sonuç, çalışma süresi olan bir "LTAS" (doğrusal zaman yaklaşımı şeması) 'dır - genellikle bunlar sabit çıkarımla elde edilir. (poly ( )) veriden elde edilen çekirdek, ve çekirdeğin üzerinde tam bir çözümün tüm girdi için yaklaşık bir çözüm olduğunu garanti ederek, bu çekirdeğin üzerinde pahalı bir algoritma çalıştırarak.1 /$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$$1/\epsilon$

Bir takım püf noktaları, indirimler ve ilkeler var ve Sariel Har-Peled'in yeni kitabı bunlarla dolu. Böyle zengin bir karmaşıklık teorisi olduğunu sanmıyorum.

Sorunlara yönelik yaklaşık çözümler bulmak son kağıtların olmayan listesi$P$

1) Neredeyse lineer zamanda doğrusal denklemler (simetrik çapraz olarak baskın) için yaklaşık çözümler üzerinde çok fazla çalışma var$\mathcal{O}(n\cdot\text{polylog}(n))$

(evrakların listesi) http://cs-www.cs.yale.edu/homes/spielman/precon/precon.html

(Genel olarak lineer denklemler için çoğu yinelemeli çözücü, gerçek çözümü yaklaştırma prensibini paylaşır . Aynı şey, daha genel sorunları çözen yinelemeli yöntemler için de geçerlidir (örneğin, bazı dışbükey / doğrusal programlar)).$\epsilon$

2) min / max için yaklaşık çözümler kesintileri / akar http://people.csail.mit.edu/madry/docs/maxflow.pdf$s-t$

3) Bir sinyalin Fourier dönüşümünün alt çizgi zamandaki seyrek bir yaklaşımını bulmak http://arxiv.org/pdf/1201.2501v1.pdf

4) Bir matrisin yaklaşık temel bileşenini bulma http://www.stanford.edu/~montanar/RESEARCH/FILEPAP/GossipPCA.pdf

P'deki problemler için yaklaşıklık algoritmaları üzerine geliştirilen genel bir teori olduğunun farkında değilim. Buna rağmen, yaklaşık uzaklık noktaları olarak adlandırılan belirli bir problem olduğunu biliyorum:

Ağırlıklandırılmış, yönlendirilmemiş bir grafik verilen ,düğümler vekenarlar, bir noktadan noktaya sorgu iki düğüm arasındaki mesafeyi sorar .n = | V | m = | E | s , t ∈ $G = (V, E)$$n = |V|$$m = |E|$$s, t \in V$

Uzaklık probleminde uzay, sorgu süresi ve yaklaşık değer arasında üç yönlü bir denge vardır. Kişi, her çift ​​mesafe matrisini saklayarak her sorguyu zamanında tam olarak (yaklaşık = ) tam olarak cevaplayabilir ; veya en kısa yol algoritmasını çalıştırarak saatinde. Büyük grafikler için bu iki çözüm, büyük ölçüde (matrisi saklamak için) veya sorgulama süresini (en kısa yol algoritmasını çalıştırmak için) gerektirebilir. Bu nedenle, yaklaşım izin veriyoruz.0 ( 1 ) 0 ( m + n log n $1$$O(1)$$O(m + n\log n)$

Genel grafikler için, son teknoloji, herhangi bir yaklaşık değer için için en uygun alan gerektiren , Thorup ve Zwick'in uzak kehanetidir . Aynı zamanda size güzel bir uzay-takas değişimi sağlar.$k$

Seyrek grafikler için daha genel bir uzay-yaklaşık-zaman takası gösterilebilir .

Genellikle bir grafikte en kısa yolu bulma, bir kümedeki benzersiz öğeleri bulma gibi basit sorunlara yaklaşık çözümler ararız. Buradaki kısıt, girişin büyük olmasıdır ve sorunu yaklaşık olarak veri üzerinden tek bir geçiş kullanarak çözmek istiyoruz. Doğrusal / doğrusal yakın zamanda yaklaşık çözümler elde etmek için tasarlanmış birkaç "akış" algoritması vardır.

$O(nm)$$n$$m$

Maksimum eşleştirme için hızlı yaklaşım algoritmaları bilinmektedir. En azından aklıma gelen bir şey http://arxiv.org/pdf/1112.0790v1.pdf .

$P$

Veri akışı ve doğrusal altı algoritmaların tüm alanının bu yönde bir çaba olduğunu düşünüyorum. Veri akışında, odak noktası o (n) ve ideal olarak O (polylog (n)) uzayındaki problemleri çözmeye odaklanırken, alt-lineer algoritmalarda o (n) çalışma zamanı ile algoritmalar almaya çalışın. Her iki durumda da, sıklıkla rastgele yaklaşım algoritmasına sahip olmaktan ödün vermek gerekir.

Üzerinde malzeme ile başlayabilir bu sayfayı ve bu .

$\epsilon$$\epsilon$. Çok mal akışı (ve daha genel olarak LP'leri paketlemek ve örtmek) gibi özel doğrusal programlama problemlerinin yaklaşık olarak çözülmesiyle ilgili çok sayıda makale vardır. P'deki problemler için NP'deki problemlere karşı ayrı bir yaklaşım teorisi yoktur (P'nin NP'ye eşit olup olmadığını bilmiyoruz). Kişi belli bir sınıf problem için uygulanabilir bir teknik hakkında konuşabilir. Örneğin, yaklaşık olarak paketleme ve doğrusal programları ve bazı değişkenleri kapsayan çözme için bilinen genel teknikler vardır.

Dimitris, yaklaşan fourier dönüşümlerinden bahseder. Bunu, örneğin JPEG algoritmasında, görüntü sıkıştırmada geniş bir kullanım alanı vardır. [1] Bunu vurgulayan bir yazı görmeme rağmen, bir anlamda kayıplı bir sıkıştırma [2] (türetilebilir sınırlarla) P-zaman yaklaşımı algoritması olarak da alınabilir. Yaklaşma yönleri oldukça geliştirilmekte ve en iyi duruma getirilmekte / optimize edilmekte ve bu sayede insan vizyonu tarafından algılanamayacak şekilde uzmanlaşmaktadır, yani insanlara kodlama yapılarının insan algısı (kabaca yaklaşık ve kayıpsız sıkıştırma arasındaki fark olarak tanımlanmaktadır) en aza indirgenmiştir.

Bu, insan gözünün nasıl algıladığına ya da kendisinin, algoritmik benzeri bir işlemle renk kodlamasını gerçekte nasıl "yaklaştırdığı" teorileriyle ilgilidir. Başka bir deyişle, teorik yaklaşım şeması / algoritması aslında fiziksel / biyolojik yaklaşım şeması / algoritmasına uyması için kasıtlı olarak tasarlanmıştır (biyolojik bilgi işlemcisi tarafından kodlanan, yani insan görsel sistemindeki nöronlar).

bu yüzden sıkıştırma, yaklaşık bir şekilde sıkıca birleştirilir. JPEG'de fourier dönüşümü DCT, ayrık kosinüs dönüşümü [3] ile yaklaşık olarak hesaplanır. MPEG video sıkıştırma standardı için benzer prensipler çoklu kareler üzerinde kullanılmaktadır. [4]

[1] jpeg sıkıştırma, wikipedia

[2] kayıplı sıkıştırma, wikipedia

[3] DCT, ayrık kosinüs dönüşümü, wikipedia

[4] MPEG, wikipedia

Bu, sorunuzu tam olarak cevaplamıyor olabilir, çünkü şu anda bazı buluşsalları hatırlayabiliyorum, ancak bazı yaklaşımlar olduğundan eminim, çünkü daha önce gördüm.

$O(f(k)*|G|^\alpha)$$f(k)$ problem ve daha sonraki yaklaşımları / sezgisel özellikleri (basit google 2010, 2011'de sonuçları gösterir) veya grafiklerin ağaç ayrışmasını bulmak için algoritmalar.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020019002003939

Doratha Drake ve Stefan Hougardy tarafından ağırlıklı eşleştirme problemini kapsayan, "Ağırlıklı eşleştirme problemi için basit bir yaklaşım algoritması" makalesinin bağlantısıdır.