Seyrek tamsayılı doğrusal programlama problemlerine yönelik çözümler hakkında bilinenler nelerdir?

Her kısıtlamanın en fazla (örneğin) 4 değişkene sahip olduğu bir dizi doğrusal kısıtlama varsa (-1 negatif olan ve bir -1 katsayısına sahip olabilecek bir değişken hariç tüm değişkenler {0,1} katsayılı), çözüm hakkında ne biliniyorsa uzay? Değişken sayısı ve kısıtlamaların sayısı ve değişkenlerin sayısının bir fonksiyonu olarak, nesnel fonksiyonun minimumunun ne kadar küçük olabileceğini bilmek yerine, etkili bir çözümle (lütfen birinin bilinip bilinmediğini belirtiniz) daha az ilgileniyorum. kısıtlama.

Daha somut, program gibi bir şey

herkese
  tabi
olanı en aza indirin , x_i pozitif bir tamsayıdır
x1 + x2 + x3 - t <0
x1 + x4 + x5 - t <0
...
x3 + x6 - t < 0
x1 + x2 + x7 - t ≥ 0
...

Somut bir soru gerekliyse, asgari çözümün seyrekliğe bağlı olarak O () sabiti ile t <= O (azami {değişken sayısı, sınır sayısı}) uyması durumunda mı? Fakat cevap hayır olsa bile, bu tür meselelerin tartışılması için ne tür bir ders kitabı veya kâğıt çalışacağımı bilmekle ve bu tür bir şeye adanmış bir çalışma alanı olup olmadığını bilmiyorum ama bilmiyorum aranacak terimler. Teşekkür ederim.

Güncelleme: Daha fazla yansıtma ile (ve 3SAT'ın üç değişkenli kısıtlamalar kullanan ILP'ye oldukça basit bir şekilde azaltılması düşünülerek), katsayılar sorununun (verimli bir algoritma olacaksa) kritik olduğunun farkındayım. Daha doğrusu, tüm x_i değişkenleri 0 veya 1 katsayıya sahiptir (herhangi bir kısıtlamada en fazla üç 1 katsayıya sahip) ve tüm t değişkenleri -1 katsayıya sahiptir ve tüm karşılaştırmalar solda ve 0 sağda değişkenlere sahiptir. Açıklamak için yukarıdaki örneği güncelledim.

Bunun cevabı (en azından çözümü doğrusal olarak bağlamakla ilgili somut soruya) hayır. Bu, aşağıdaki makalenin bir parçasıdır: http://arxiv.org/abs/1011.3493 . Teorem 5.1 bu sorunun motivasyonuydu.

Bunun karşıtı örnek şudur:

temel durum:

a_1 '+ b_1' - t ≥ 0
a_1 '' + b_1 '' - t ≥ 0
a_1 + b_1 '- t'-1
a_1 '+ b_1' '- t≤ -1

özyinelemeli dava:

a_n '+ b_n' + a_ {n-1} - t = 0
a_n '' + b_n '' + a_ {n-1} - t = 0
a_n + b_n '+ a_ {n-1}' '- t--1
a_n '+ b_n' + a_ {n-1} '' - t--1

hepsinin olumsuz olmalarını istemekle birlikte.

Herhangi bir gerçek çözümün a_n ''> = a_n + 2 ^ n 'yi sağlaması gerektiğini indüksiyon yaparak kanıtlayabilirsiniz. "<0" - eşdeğerlerini "≤ -1" olarak değiştiririz, çünkü herhangi bir tamsayı çözümü "0 -1" yerine getirirse ve yalnızca "<0" değerini karşıladığında.

Dolayısıyla ahlaki, bu formun n eşitsizliklerinin, tüm tamsayı çözümlerinin, başlangıçta şüphelendiğimiz gibi kesinlikle lineer olarak sınırlanmayan, en azından n cinsinden üstel, en az bir tamsayıya sahip olma özelliğine sahip olmasıdır.

Katsayılı matris tamamen modüler değilse, sıradan doğrusal programlama yoluyla verimli bir çözüm mevcuttur. Bu, yalnızca seyrek olanlar için değil, herhangi bir ILP için de geçerlidir - siz de bu mülkleri sizinki gibi seyrek bir ILP için kullanma olasılığınız daha yüksek olsa da.

Bunu zaten biliyor olabileceğinden şüpheleniyorum, o yüzden deneyeyim ve size daha iyi bir cevap vereyim. Özellikleri çok derinlemesine düşünmeden önce, somut sorunuzun cevabı "evet" dir, bir sınır vardır. M değişkenindeki n eşitsizliklerin kesişimi bir polytope tanımlar. Katsayılar çok iyi davrandığı için, köşelerinin koordinatlarının boyutuna biraz aritmetik olarak üst sınır uygulayabiliriz. Bu size polytope içindeki herhangi bir tamsayı noktasının boyutuna bağlı çok kolay bir üst sınır ve böylece tamsayılı programınıza bir çözüm sunar. Bunu zaten denedin mi?

Özellikle probleminiz oldukça fazla bir yapıya sahip (merak ediyorum, nereden geliyor?) Bu yüzden daha fazla tartışırsak bundan daha kesin olabileceğimize eminim.

Şimdi, bu konuda bilgi bulma konusunda daha genel bir soru için. Bu, geleneksel olarak matematiksel programlamanın bir alt kümesi olan doğrusal ve tamsayılı programlama teorisine giren bir problem türüdür.

Oldukça aktif bir araştırma alanı olmakla birlikte, çalışmaların çoğu, bilgisayar bilimi yerine "optimizasyon" ve "matematiksel programlama" başlıkları altında yapılan operasyon araştırma bölümlerinde gerçekleştirilmektedir. Konuyu kapsayan birçok ders kitabı vardır. Berkeley'de kullandığımız Wolsey tarafından düşünebilirsiniz . Aşağıda, tamsayılı ve doğrusal programlama dahil olmak üzere, Greenberg'in, insanların bu tür sorunları analiz etmede neler düşündüklerini anlamalarına dair bir fikir verebilecek, kullanılmayan mitlerin ve karşı örneklerin bir listesi verilmiştir . Wolsey yoğundur, ancak başlamak için oldukça iyi bir yer - ILP'leri analiz etmek ve sorunlu formülasyonları verimlilik noktasına kadar geliştirmek için çok sayıda teknik var.

Ekleyeyim, eğer önerdiğim saf yaklaşımı uygularsanız, poligonun geometrisini analiz ederek, aranacak terimlerin poligonun köşelerinin koordinatlarının boyutunun sınırlanmasıyla ilgili olacağını söyleyeyim. Bu terimler matematik literatüründe polytopes hakkında daha sık ortaya çıkıyor.

Bu ilgi hesabını bulabilirsiniz:

http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedral_combinatorics

ve özellikle G. Ziegler'in makalesi:

0-1 Çokyüzlü Dersler

içinde:

Kalai, Gil; Ziegler, Günter M. (2000), Polytopes: Kombinatorik ve Hesaplama, DMV Semineri, 29, Birkhäuser, ISBN 9783764363512.