Teorik bilgisayar bilimlerinde cebirsel yapıların kullanımı

Ben bir yazılım uygulayıcısıyım ve kişisel araştırma için cebirsel yapılar üzerine bir anket yazıyorum ve bu yapıların teorik bilgisayar bilimlerinde (ve daha az derecede bilgisayar biliminin diğer alt alanlarında) nasıl kullanıldığına dair örnekler üretmeye çalışıyorum. .

Grup teorisi altında biçimsel diller için sözdizimsel monoidlerle, paralel / eşzamanlı hesaplama için iz ve tarih monoidleriyle karşılaşıyorum.

Bir halka teorisi açısından, grafik işleme ve semiring tabanlı ayrıştırma için semiring çerçevelerine rastladım.

Araştırmamda modül teorisinden cebirsel yapıların herhangi bir kullanımını henüz bulamadım (ve yapmak istiyorum).

Başka örnekler olduğunu ve onları bulmak için doğru yere bakmadığımı varsayıyorum.

Teorik bilgisayar bilimlerinde (ve bilgisayar biliminin diğer alt alanlarında) yaygın olarak bulunan, yukarıda listelenen alanlardan bazı diğer cebirsel yapı örnekleri nelerdir? Alternatif olarak, bu konuları kapsayabilecek hangi dergiler veya başka kaynaklar önerebilirsiniz?

Benim izlenimim, genel olarak, geleneksel cebirin Bilgisayar Bilimi'nde kullanılmak için fazla spesifik olduğu yönünde. Böylece, Bilgisayar Bilimcileri ya zayıf (ve dolayısıyla daha genel) yapılar kullanır ya da geleneksel yapıları kendi gereksinimlerine uyacak şekilde genelleştirirler. Ayrıca kategori teorisini çok kullanıyoruzhangi matematikçiler cebirin bir parçası olarak düşünmezler, ama neden olmadığını anlamıyoruz. Geleneksel matematiğin "cebir" ve "topoloji" olarak ayrı dallar olarak düzenlenmesi, anlamsız, hatta anlamsızdır, çünkü cebir genelde birinci derecedendir, topoloji ise daha üst düzey yönlerle başa çıkma şansına sahiptir. Bu yüzden, Bilgisayar Bilimi'nde kullanılan yapıların cebir ve topolojileri birbirine karışmış durumdadır. Aslında, onların cebirden çok topolojiye yöneldiklerini söyleyebilirim. Mantığın "cebir" ve "mantık" olarak düzenlenmesi, bizim açımızdan bir başka anlamsız bölümdür, çünkü cebir, eşitliksel özelliklerle ilgilenirken, mantık diğer tüm özelliklerle de ilgilenmektedir.

Sorunuza dönersek, yarı gruplar ve monoidler otomata teorisinde oldukça yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Eilenberg, ikincisi neredeyse tamamen cebir olan 2 ciltli bir koleksiyon yazdı . Bana dört cilt planladığını ancak yaşının projenin bitmesine izin vermediğini söyledi. Jean-Eric Pin çevrimiçi bir kitapta bu içeriğin çoğunun modernize edilmiş bir versiyonuna sahiptir . Otomatlar, Bilgisayar Bilimi için doğru genel seviyede olan "monoid modülleri" dir (monoid eylemleri veya "eylemleri" olarak da bilinir). Geleneksel halka modülleri muhtemelen çok spesifiktir.

Kafes teorisi, anlamlandırma anlambiliminin gelişmesinde büyük bir güçtü. Topoloji, kafes teorisine karışarak, Bilgisayar Bilimcileri, matematikçilerle ortaklaşa sürekli kafesler geliştirdi ve daha sonra bunları alanlara yaydı . Etki alanı teorisinin, Bilgisayar Bilim Adamlarının geleneksel matematiğin bilmediği kendi matematiği olduğunu söyleyebilirim.

Veri tiplerinin cebirsel özelliklerini tanımlamak için evrensel cebir kullanılır . Oraya girdikten sonra, Computer Scientists derhal daha genel özelliklerle başa çıkma ihtiyacı duydular: koşullu denklemler (eşit Boynuz cümleleri de denir) ve hala aynı evrensel cebir fikirlerini kullanan birinci dereceden mantık özellikleri. Sizin de belirttiğiniz gibi, cebir şimdi model teorisine katılıyor.

Kategori teorisi, tip teorisinin temelini oluşturur. Bilgisayar Bilimcileri, çeşitli işlemsel fenomenlerle başa çıkmak için yeni yapılar icat etmeye devam ettikçe, kategori teorisi tüm bu fikirlerin yerleştirileceği çok rahatlatıcı bir çerçevedir. Ayrıca, functor kategorileri gibi "geleneksel" matematikte var olmayan kategori teorisinin sağladığı yapıları kullanıyoruz. Ayrıca cebir, monadların ve cebirsel etki teorilerinin kullanımında kategorik bir bakış açısıyla resme geri dönmektedir . Cebirlerin ikilisi olan kömürböcekleri de pek çok uygulama buluyor.

Bu nedenle, Bilgisayar Bilimi'nde geniş kapsamlı bir "cebir" uygulaması vardır, ancak geleneksel cebir ders kitaplarında bulunan bir tür cebir değildir.

$a : X \rightarrow Y$$a : X \rightarrow Y$$b : Y \to Z$$ab : X \to Z$$n \times n$$m \times n$$m$$n$

TCS'de en çok sevdiğim grup teorisi uygulaması, Barrington'ın Teoremi. Sen bulabilirsiniz karmaşıklığı blogunda bu teoremin bir fuar ve o yazının yorum bölümüne Barrington'ın fuar.

Gruplar, halkalar, alanlar ve modüller hesaplamalı topolojide her yerdedir. Özellikle Carlsson ve Zomorodian'ın (örneğin: 1 ) asıl ideal alanlara göre derecelendirilmiş modüller ile ilgili (çok boyutlu) kalıcı homoloji konusundaki çalışmalarına bakınız.

Çok güzel, pratik bir kullanım: grafik bağlantısı hesaplamak için bir algoritma ( FOCS2011'den ). Bir grafiğin s-> t bağlantısını hesaplamak için, yazarlar sonlu bir alandan çizilen girişlerle rastgele vektörleri s'den çıkarılan kenarlara doğru rastgele vektörler atanan bir algoritma verir, ardından rastgele alarak tüm kenarlar için benzer vektörler oluşturur Doğrusal kombinasyonlar ve nihayetinde t'nin kenarlarına atanan vektörlerin rütbesini hesaplayarak bağlantıyı keşfedebilirsiniz.

Kafesler ve sabit noktalar, program analizi ve doğrulamanın temelini oluşturur. Kafes teorisinden elde edilen gelişmiş sonuçlar nadiren kullanılsa da, çünkü kafes teorisindeki araştırmaların farklı bir odağı vardır (topoloji, dualite teorisi, vb.). İlk soyut yorum kağıtları, temel kafes teorisini kullanır. Roberto Giacobazzi ve işbirlikçilerinin çalışmaları daha gelişmiş sonuçlar kullanıyor.

Dağıtılmış hesaplamada, ünlü bir imkansızlık sonuçları ailesi, cebirsel topoloji yöntemleri kullanılarak türetildi (Maurice Herlihy ve Nir Shavit'in çalışmalarına bakınız).

[Düzenle: Bkz. . Topoloji'nin Bilgisayar Bilimine Uygulaması .]

Evrensel cebir, kısıt memnuniyeti problemlerinin karmaşıklığını inceleyen önemli bir araçtır.

Örneğin, Dichotomy Conjecture , kabaca konuşursak, sonlu bir alan üzerindeki bir sınırlama tatmini sorunun ya NP-tamam ya da polinom-zamanla çözülebilir olduğunu belirtir. Ladner'ın teoremine göre, P = NP olmadıkça, NP'de P olmayan ve NP tamamlanmayan problemler olduğuna dikkat edin, bu nedenle varsayım, CSP'lerin daha büyük karmaşıklık sınıflarının sahip olmadığına ilişkin bir ikiliğe sahip olma konusunda özel olduğunu söylüyor. Ayrıca, uygulamada karşılaştığımız çoğu sorunun neden NP-komple veya P olarak sınıflandırılabileceğine dair bir açıklama yapacaktır.

İkili alan CSP'leri (Schaefer) ve üçlü alan CSP'leri (Bulatov) ve yönlenmemiş grafiklere homomorfizmalar (Cehennem ve Nesetril) gibi birçok özel durum için iki kez kanıtlanmıştır. Ancak genel durum oldukça açık. Başlıca saldırı hatlarından biri evrensel cebirden geçiyor. Çok kabaca (ve bu konuda kesinlikle uzman değilim!) Biri, her bir değişkene uygulandığında tatmin edici tüm kısıtlamaları bırakan CSP alanında bir işlev olarak CSP polimorfizmini tanımlar. Bir anlamda bir CSP'nin polimorfizmleri kümesi karmaşıklığını yakalar. Örneğin, eğer bir CSP A, bir CSP B'nin bütün polimorfizmlerini kabul ederse, o zaman A, B'ye indirgenebilir polinom süresidir. Polimorfizm seti, yapısı algoritmaları tasarlamada / indirimleri göstermede yardımcı görünen bir cebir oluşturur. Örneğin, bir CSP'nin polimorfizm cebiri belirsiz ise ve tek tip tipini kabul ediyorsa, CSP NP tamamlanmıştır. Idempotence, genellik kaybı olmadan az ya da çok yapılabilecek basitleştirici bir varsayımdır. Cebirinde önemsiz olan ve tek tip tipini kabul etmeyen bir CSP'nin polinom zamanında çözülebileceğini göstermek, Dichotomy Konjürasyonunu kanıtlayacaktır.

Bulatov anketine bakınız: http://www.springerlink.com/content/a553847g6h673k05/ .

TCS'nin farklı bir bölümünden iki uygulama.

Semirings, veritabanlarındaki ek açıklamaları modellemek için (özellikle provenans için gerekli olanlar) ve çoğu zaman da değerli kısıtlama memnuniyetindeki değerleme yapıları için kullanılır. Bu uygulamaların her ikisinde de, bireysel değerler doğal olarak bir semiring yapısına götüren şekillerde birleştirilmelidir, ilişkilendirme ve diğerine dağıtılan bir semiring işlemi. Modüller hakkındaki sorgunuzla ilgili olarak, hiçbir monoid bu uygulamalarda genelde tersine sahip değildir.

• Todd J. Green, Grigoris Karvounarakis ve Val Tannen. Deliliyet dönemleri , PODS 2007. doi: 10.1145 / 1265530.1265535 ( ön baskı )
• Stefano Bistarelli, Ugo Montanari ve Francesca Rossi. Semiring tabanlı kısıtlama memnuniyeti ve optimizasyonu , JACM 1997. doi: 10.1145 / 256303.256306 ( ön baskı )

Halkalar, modüller ve cebirsel çeşitler hata düzeltmede ve daha genel olarak kodlama teorisinde kullanılır.

Spesifik olarak, Reed-Solomon kodlarını ve Çince Kalan kodlarını genelleyen soyut bir hata düzeltme şeması (cebirsel-geometri kodları) vardır. Buradaki şema temel olarak mesajlarınızı bir R halkasından gelip R, 'de birçok farklı idealleri modüle ederek kalıntılarını kodlayarak almaktır. R hakkındaki bazı varsayımlar altında, bunun iyi bir hata düzeltme kodu yaptığını ispatlamak mümkündür.

Liste kod çözme dünyasında, Guruswami'nin yeni bir makalesi , tüm aday mesajların, mesaj alanının düşük boyutlu bir afin alt uzayında yer aldığı hoş bir özelliğe sahip olan katlanmış Reed-Solomon kodlarının listesinin doğrusal bir cebirsel yöntemini verir. . Kişi, neredeyse tüm alan kadar büyük olan ancak her düşük boyutlu afin alt uzayla kesişen küçük kümeler içeren alt küme evasif kümeleri oluşturabilir. Eğer biri mesaj alanı içerisinde yer alan bir alt uzay kaçağı mesajlarını kısıtlarsa, Guruswami'nin programı güzel liste boyutunu garanti eden bir algoritma verir. Şimdiye kadar, alt uzay kaçırma setlerinin tek açık inşaatı, Dvir ve Lovett tarafından gelecek STOC kağıtlarında, Alt Uzay Evasive Setlerinde verilmiştir. ve seti belirli bir afin çeşitliliği alarak (ve Kartezyen ürününü de birlikte alarak) yapılandırın.

Ramsey Teorisine göz atın - temel olarak çok sayıda otomata ve biçimsel dil teorisinin temelini oluşturan güvercin deliği ilkesinin önemli bir genellemesi (ya da söylemeliyim ki, güvercin deliği ilkesi Ramsey Teorisinin en basit örneğidir). Temel olarak, oldukça düzensiz yapıların bile, eğer yeterince büyüklerse mutlaka çok fazla düzen içerdiği ortaya çıkıyor. Güvercin deliği prensibinin hemen ötesindeki küçük bir örnek için, altı kişiyi almanız durumunda, üçünün birbirini karşılıklı olarak tanıdığını veya üçünün birbirini tanımadığını unutmayın.

Bu makale bilgisayar bilimleriyle bağlantı kurmak için güzel bir yer gibi görünüyor, ancak daha fazla bilgi için google’a gidebilirsiniz. Temel yapısında cebirsel olmaktan çok birleşiktir, ancak cebirsel ve teorik CS'de birçok uygulaması vardır.

Ayrıca mucit Frank Ramsey'nin hikayesini inceleyin - gerçekten ekonomi ve felsefede ve matematikte temel, hatta devrimci katkılar yapan, hatta 26 yaşında ölmeden önce, çoğu matematiğe önem vermeyen olağanüstü bir polimath. sadece düşün! Aslında, Ramsey Teorisi'nin temeli olan Ramsey'in orijinal teoremi, matematiksel mantıkta daha büyük bir amacı olan bir makalede sadece bir lemmaydı.

Herhangi bir problemi çok fazla simetri ile analiz etmek grup teorisi kullanılarak kolaylaştırılmıştır. Bir örnek, rubik küpü gibi şeyler için algoritmalar bulmak olabilir. Ayrıntıları bilmeme rağmen, Tanrı'nın sayısının 20 olduğunu kanıtlamanın ciddi bir grup teorik budama gerektirdiğinden eminim . Farklı bir bağlamda, nauty gibi grafik izomorfizm problemi için pratik çözücüler grafiğin otomorfizm grubunu kullanır.

$\mathbb{Z}_p$

İşlevsel programlamada, problemler için en genel ve en zarif soyutlamalar doğada genellikle cebirseldir (veya kategori-teorik): monoidler, semirings , functors, monads , F-cebirleri, F-kömürgebralar, vb. Bazı klasik sonuçlar (örneğin, Yoneda lemma) hesaplamalı içeriğe ve kullanışlılığa sahip olur.

Ayrıca, bir cebirsel topolojik ortamda (sıralama) tip teorisini yorumlayan homotopy tip teorisi vardır.

Son zamanlarda, springerlink ile ilgili makalemize bakınız: Sık ürün seti madenciliği yaklaşımlarının resmi seri temelli birleşimi ) madenciliği modelleme (popüler bir veri madenciliği örneği) yaklaşımı biçimsel seri ve ağırlıklı otomatlar aracılığıyla birleştirme girişimi. Bu araçlar monoidler ve semiring yapıları arasındaki eşleşmelere dayanmaktadır.