Submodülerliğin güçlendirilmesi

13

Tüm , için bir set fonksiyonu monoton alt $f$ $A,B$

f (A) + f (B) \geq f (A \cup B) + f (A \cap B) .

$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$

Daha güçlü bir özellik alma , bu tesis, monoton submodularity ifade eder.

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cup B \cup C) \geq \\ f (A \cup B) + f (B \cup C) + f (A \cup C) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$

C = A \cup B

$C = A\cup B$

Bu mülk biliniyor mu?

Arka fon

Bu özellik, kapsama işlevlerini karakterize etmeye çalışırken ortaya çıktı. Bazı ağırlıklı evrenin göz önüne alındığında (tüm ağırlıklar negatif olmayan) ve bir aile ait alt kümelerin , kapsama fonksiyonu için tanımlandığı gibidir setler kapsamındaki elemanlarının toplam ağırlığı olarak . işlevi her zaman monoton ve submodülerdir. Tersi doğru değil. $U$ $X$ $U$ $f(S)$ $S \subseteq X$ $S$ $f$

Söz konusu özellik, ifadesinin . Benzer, daha karmaşık özellikler daha büyük için çalışır . Tüm bu özellikler kapsama işlevleri tarafından karşılanır, bu yüzden bu tam bir karakterizasyondur. $f$ $|X| = 3$ $X$

ds.algorithms approximation-algorithms submodularity

— Yuval Filmus
kaynak

13

Bu denklemler açısından kapsama fonksiyonlarının tam bir karakterizasyonu vardır . | X |> 3 için işaret ettiklerinden daha fazla denklem vardır. Bu denklemlerin her biri ayrık türevi üzerinde bir kısıt olarak düşünülebilir . $k^{th}$

Sadece birinci dereceden ayrık türev + ve ise monoton artış fonksiyonu. yani olduğunda . $f(B)-f(A)\ge 0$ $A\subseteq B$

Sadece ikinci dereceden ayrık türev -ve ise alt-modülerlik. yani . $(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

Benzer şekilde, bir sonraki türevde koşullarınız varsa, kapsama fonksiyonları alırsınız. (Bence işaretler çift sipariş türevi için + ve ve tek sipariş türevi için -ve olmalıdır) $n$

Olasılıkta zaten benzer bir şey biliniyordu. Kapsama fonksiyonu da bir olasılık ölçüsü olarak düşünülebilir (ölçeklendirme sabitine kadar). Kazabildiğim tek referans Feller'ın olasılık kitabından sayfa 439'du.

— Ashwinkumar BV
kaynak

Referans için teşekkürler! Bir seferde yalnızca bir öğe eklemeyi düşündüğünüz için, ayrı türevin durumu biraz farklıdır. Tekdüzeliklik oldukça ve alt . İkincisi aslında sadece diğerinin bir alt kümesi olmadığında olağan duruma eşdeğerdir . Yani üçüncü dereceden mülküm (öncekilerin tam olarak genel olmasını gerektirir) makalede görünmüyor.

f (A \cup {x}) \geq f (A)

$f(A \cup \{x\}) \geq f(A)$

f (A \cup {x}) + f (A \cup {y}) \geq f (A \cup {x, y}) + f (A)

$f(A \cup \{x\}) + f(A \cup \{y\}) \geq f(A \cup \{x,y\}) + f(A)$

A, B

$A,B$

— Yuval Filmus

7

Set fonksiyonlarının yüksek mertebeden ayrık türevleri , sahte-boolean fonksiyonların Submodülerliği, süper-modülerliği ve yüksek mertebeden monotonikliklerinde araştırılır . Onlara göre, katı üçüncü dereceden ayrık türev koşulu "agrega" koşulu, Cramma, Hammer ve Holtzman'ın (eşitsizlik (4)) bir parçası olan sahte-boolean fonksiyonlar konisinin supermodülerite tipi eşitsizliklerle karakterize edilmesi (eşitsizlik (4)) makalesinde belirtilmiştir. nadir koleksiyon "Kantitatif Yöntem den den Wirtschaftswissenschaften".

\begin{matrix} f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) + f ((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f (A \cap (B \cup C)) + f (B \cap (A \cup C)) + f (C \cap (A \cup B)) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cap B \cap C) \geq \\ f (A \cup B \cup C) + f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$

koyarsanız , alt-modellik elde edersiniz.

C = \emptyset

$C = \varnothing$

— Yuval Filmus
kaynak