Sabit grafiklerde Clique problemi

Bilindiği gibi, -clique fonksiyonu bir (alır kapsayan alt grafiğinin) tam bir -vertex grafik ve çıkışları iff bir içermektedir -clique . Bu durumda Değişkenler karşılık kenarları arasında . bu fonksiyonun monoton devreler gerektirdiği bilinmektedir (Razborov, Alon-Boppana) . Cı L I S u e ( n , k ) G ⊆ K , n , n K , n 1 G k K , n 3 ≤ k ≤ N / 2 , n $k$$CLIQUE(n,k)$$G\subseteq K_n$$n$$K_n$$1$$G$$k$$K_n$$3\leq k\leq n/2$$n^k$

Ancak, bir sabit grafik grafiği ve köşelerin alt kümesini alan ve biçiminde bazı köşelerinde çıktısı alan monoton boolean işlevini kabul içinde clique . Bu durumda tekabül ettiği değişkenler köşeler arasında ve fonksiyon sadece standart klik fonksiyonu bunlarla sınırlı olduğu kapsayan biri Alt Graflar sabit grafiktir . C L İ Q U E ( G , k ) S ⊆ [ n ] 1 k S $G\subseteq K_n$$CLIQUE(G,k)$$S\subseteq [n]$$1$$k$$S$$G$$K_n$$G$

1. mu orada bulunmamakta -vertex grafikleri olan daha büyük bir boyutta monoton devrelerine gerek ? Sanırım hayır. G C L I Q U E ( G , k $n$$G$$CLIQUE(G,k)$$n^{O(\log n)}$

2. Is grafikler bir dizisi için bir NP-zor bir problem ? Sanırım hayır. ( G n : n = 1 , 2 … $CLIQUE(G_n,k)$$(G_n\colon n=1,2\ldots)$

Eğer Not bu tüm maksimal klikler olan , daha sonra bir şekilde OR hesaplanabilir eşiği- fonksiyonları, -inci olan testler olup . Böylece, eğer , o zaman tüm devre polinom boyutundadır. Peki ya üstel bir maksimum klibe sahip grafikler? (Bir klik maksimumdur, buna hiçbir köşe eklenemez.) G C L I Q U E ( G , k ) r k i | S a ∩ C i | ≥ k r = s O l y ( n $C_1,\ldots,C_r$$G$$CLIQUE(G,k)$$r$$k$$i$$|S_a\cap C_i|\geq k$$r=poly(n)$

yi ' nın köşelerinde belirli bir grafiği için "gömmek" mümkündür . Özellikle, Bollobas ve Thomason (1981) göstermiştir ki, eğer olan noktalar alt kümeleridir bir Hadamard grafiktir ve iki köşe ve bitişik IFF vardırHatta, daha sonra , her grafiğin izomorfik bir kopyasını içeren ile köşe. Bu gerçeği Razborov's ile kombine edilebilir (yaklaşık alt sınırı oluşturan için) sonucuna C L I Q U E ( H , k ) H n = 2 m H [ m ] u v | u ∩ v | H G m m k C L ı Q U E ( m , k ) C L I Q U E $CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$H$$n=2^m$$H$$[m]$$u$$v$$|u\cap v|$$H$$G$$m$$m^k$$CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$ , hakkında boyutta monoton devreler gerektirir ? Burada potansiyel bir problem, grafik halde, yani "içerir" , tüm -vertex grafikler, bu grafiklerdir değildir ile aynı köşe grubu. Ve Razborov'un argümanı, pozitif ve negatif girdilerin ( sıklığı ve tam -partite grafikleri tamamlayıcıları ) aynı köşe kümelerinin grafikleri olduğunu belirtiyor . Ayrıca, tüm pozitif girişler ( cliques), bir ve aynı sabit clique'in sadece izomorfik kopyalarıdır .$m^k$$H$ $m$( k - 1 $k$$(k-1)$$k$ $k$

3. Herhangi bir fikir? Bu tür problemlerin değerlendirildiğini gören var mı? Demek istediğim, sabit bir grafiğin alt yazıları için karar problemleri . Ya da, diyelim ki, bir sabit (tatmin edici) CNF'nin ( bazı değişmezlerin kaldırılmasıyla elde edilen) alt CNF'leri için SAT sorunu ?

Motivasyon: Bu tür sorunlar, kombinasyonel optimizasyon algoritmalarının karmaşıklığı ile ilgilidir. Ama kendileri için ilginç görünüyorlar. Neden tüm grafiklerde etkili olan algoritmalar aramalıyız ? Gerçekte, genellikle bir (büyük) grafiğin (bir ülkedeki sokak ağı, facebook veya benzeri) küçük parçalarının özellikleriyle ilgileniriz.

Gözlem 1: grafik halinde olan iki parçalı , eşitsizliklerin sonra tepe kenar sıklığı matris için tüm tamamen unimodular olduğu ve biri, indüklenmiş alt yazılarındaki klik problemini doğrusal programlama yoluyla çözebilir . Bu nedenle, ikili grafikler için , sahip devresi (non-monoton olsa) küçük bir. x u + x v ≤ 1 ( u , v ) ∉ D G G C L I S U e ( G , k $G=(L\cup R,E)$$x_u+x_v\leq 1$$(u,v)\not\in E$$G$$G$$CLIQUE(G,k)$

: Açıklama 2 olması durumunda bu, bir değerleri ikili grafikler , soru 1 cevabı gerçekten HAYIR "gerektiği" ile ilgili daha sonra aşağıdaki monoton Karchmer-Wigderson oyun yalnızca ihtiyacı iletişim bit. Let bir tam ikili alt grafiği içinde köşe büyük sayı . Alice bir dizi alır kırmızı düğümlerin Bob kümesi mavi düğümlerin öyle ki . Amaç, ve arasında kenar bulmaktır .G O ( log n ) k G A B | A | + | B | > k A $G$$G$$O(\log n)$$k$$G$$A$$B$$|A|+|B|>k$$A$$B$

Ağaç gibi bir Çözünürlükte sabit bir grafiğinin boyutunda bir klika sahip olup olmadığının kanıtlanması sorunu üzerine bazı araştırmalar yaptık (burada genellikle küçüktür). Özellikle , büyük bir grafik sınıfı için boyutundaki kırılmaların gerekli olduğunu keşfettik .k k n Ω ( k $G$$k$$k$$n^{\Omega(k)}$

Bu bağlantıda DPLL Arama Prosedürlerinin Parametreli Karmaşıklığı belgesini bulabilirsiniz .

Bu yazının sorularınızı cevaplayabileceğine inanıyorum: http://arxiv.org/abs/1204.6484

Bu makale, NP sert 3SAT problemi ailelerini tanımlar, böylece formülün yapısı her n için sabitlenir ve girdi formülün polaritesidir.

3SAT’tan CLIQUE’ye standart düşüşü kullanarak (her 3CNF cümlesi, birbiriyle çelişen olmayan ödevler arasında kenarları olan 8 olası ödevi (veya 7 tatmin edici ödevi) tanımlar, her hüküm için bir köşeyi çıkardıktan sonra, NP maksimum klikayı bulmak için zor (ya da hatta boyutunu ölçmek için, grafik ürünler veya derandomize grafik ürünler kullanarak)

3. Çeyrek, SAT problemlerinin “omurgası” ve olası “arka kapıları” üzerinde bazı deneysel çalışmalar var. omurga, her tatmin edici ödevde doğru olan değişmezler kümesidir. SAT probleminin arka kapısı, sorunun çözülmesinde “kısa yol” sağlayan (umarım küçük) bir değişkenler kümesidir. bu iki yapı muhtemelen "alt CNF'ler" veya CNF'ler olarak adlandırdıklarınızı anlamada bazı değişkenler kaldırılmış olarak anlaşılmasında yardımcı olacaktır. fakat aynı zamanda DP, davis putnam algoritmasının, CNF'nin birçok "alt CNF'lerini" çözmek için sistematik olarak araştırdığı görülebilir.

[1] Gerçeklenebilirlik Backbone'larına ve arka kapılar tarafından Kilby ve ark