Vektörleri genel pozisyonda oluşturma

Herhangi bir sütunu koleksiyonunun tam sıralama olması özelliğine sahip gerçek bir $k\times n$ ( $k\le n$ ) matrisine izin verin . ${\bf A}$ $k$

S: deterministik bir vektör bulmak için etkili bir yol var ${\bf a}$ şekilde arttırılmış matris ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ aynı özelliği korur: herhangi bir sütunu tam sıralamadır. ${\bf A}$ $k$

İlgili Sidenote: Bu özelliğe sahip bir matris, Reed-Solomon Kodunun üretecidir : Vandermonde yapısını koruyan sütunlar eklemek rank özelliğini korur. $(n,k)$

— Dimitris
kaynak

Demek istediğini anladığımdan emin değilim. Ben gerektiren

bir sorun değildir.

k \leq n

$k\le n$

k = n

$k=n$

— Dimitris

@ Jɛ ﬀ E k değişmez: k = n durumunda, (şimdi) n + 1 sütunlarının yalnızca n'sinin tam sıralama olması gerekir. Bu durumda, sorun kolay olmalıdır: matrisin R ^ n'nin ortogonal bir temeline afin bir dönüşümü bulun ve sonra bunun görüntüsü 1s vektörü olan bir vektör olsun.

— Suresh Venkat

Bana öyle geliyor ki, bunu Grassmanian üzerinden yapmanın bir yolu olmalı, ama nasıl olduğunu tam olarak göremiyorum.

— Suresh Venkat

@Suresh Evet, n = k + 1 durumu için bahsettiğiniz şekilde çözülebilir gibi görünüyor. Veya sadece seçebilir

bütün nullspace olmak

vektörlerin -collections.

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

— Dimitris

güzel soru. bildiğim kadarıyla açık olan kısıtlı izometri özelliğini doğrulama sorununun daha zayıf bir versiyonu gibi geliyor.

— Sasho Nikolov

Eğer tercih Eğer hiperküp üniform rastgele , matris olasılıkla istenen özelliğine sahip olacak . $\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— Jeffε
kaynak

Kabul edemem ama :). Sorun, böyle bir vektörün çalışıp çalışmadığını kontrol etmek istediğinizde gelir (eğer olursa olsun). Kontrol etmelisiniz

sütun alt kümeleri. Bu kontrol problemi (sabit sıralı) sonlu alanları düşündüğünüzde daha alakalı hale gelir, ancak bunlar hakkında konuşmaktan kaçınmaya çalıştım.

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— Dimitris

Soru özellikle etkili bir deterministik algoritma ister . İlgili bir şeyi cevaplarsanız, ancak soruda belirtilen koşulu karşılamazsanız, bence açıkça söylemelisiniz.

— Tsuyoshi Ito

Ne için, kedi yavrularını sevmiyor musun? :)

— Suresh Venkat

@Suresh: Pratikte, bilgisayarım aniden bir yavru kediye dönüşürse eğlenceli olurdu. Teorik olarak, önce, bir yavru kedi tanımlamanız gerekir.

— Tsuyoshi Ito

@ Jɛ ﬀ E Belki de bu sorunun neden ilgisini çektiğini açıklığa kavuşturmalıydım. Gerçek soru aynı fakat sonlu cisimler üzerindedir, fakat ben bu alanların doğrusal cebir sorularını karmaşık hale getirdiğini düşünüyorum. Uygulama "iyi" kod üreteci matrislerin tasarımıdır. Schwartz-Zippel lemması gibi araçları kullanarak rastgele whiplerin (iid girişleri) whp özelliğini karşıladığı gösterilebilir. Bu sorun için SZ genellikle

alan sırasını gerektirir ve matrislerin gerçekten çalışıp çalışmadığını verimli bir şekilde kontrol edemezsiniz. Bu neden önemli? Çünkü büyük olasılıkla güvenilir olan kodlar bazen tercih edilmez.

O (2^{k})

$O(2^k)$

— Dimitris